Exercícios Resolvidos (Matemática): Porcentagem e Juros – ENEM (Continuação)

[kc_row][kc_column width=”12/12"][k[kc_button text_title=”Questões Anteriores” link=”http://educacionalplenus.com.br/exercicios-resolvidos-matematica-porcentagem-e-juros-enem/||” size=”large” show_icon=”yes” icon=”sl-arrow-left-circle” icon_position=”left” custom_style=”yes” border_radius=”10px” bg_color=”#393939" bg_color_hover=”#FFFFFF” text_color=”#FFFFFF” text_color_hover=”#393939"]kc_c[/kc_column][/kc_row][kc_row full_width=”stretch_row” video_bg_url=”https://www.youtube.com/watch?v=dOWFVKb2JqM” parallax_speed=”1" parallax_background_size=”yes”]lu[kc_column width=”12/12"]mn[kc_column_text]trong>Nesta página, encontram-se exercícios do ENEM, relativos ao tema: Matemática Financeira [Matemáti[Matemática]gem, Acréscimo, Desconto, Juros e Financiamento.

Exercícios: Nível 2

Questão

(ENEM 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50% Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50% Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t para t ≥ 1 ?

a) P(t) = 0,5t-1 + 8000

b) P(t) = 50t-1 + 8000

c) P(t) = 4000t-1 + 8000

d) P(t) = 8000.(0,5)t-1

e) P(t) = 8000.(1,5)t-1

Solução:

Quando $$t=1$$, teremos $$p(1)=8000$$.

A partir daí, o número 8000 será multiplicado pelo fator de acréscimo $$1+50\%=1,5$$.

Quando $$t=2$$, teremos $$p(2)=8000\cdot 1,5$$.

Quando $$t=3$$, teremos $$p(3)=8000\cdot 1,5^{2}$$.

E assim por diante.

Esta é a fórmula de Juros Compostos.

Resposta: e)

Questão

(ENEM 2015) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de paralelepípedo retangular reto. Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e base de 20 cm por 10cm. No processo de confecção do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no estado líquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 25% ficando com consistência cremosa. Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com volume de 1000cm3 e, após essa mistura ficar cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar. O volume máximo, em cm3 da mistura sabor morango que deverá ser colocado na embalagem é :

a) 450

b) 500

c) 600

d) 750

e) 1000

Solução:

O volume do paralelepípedo reto é $$V=abc$$, onde $$a,b$$ e $$c$$ são as medidas dos lados desta figura.

O volume da embalagem em questão é $$V=10\cdot 10\cdot 20=2.000cm^{3}$$.

Com o aumento de 25%, o volume líquido do chocolate passará para o volume sólido, seguindo a fórmula de acréscimo percentual.

\[V_{f}=V_{[V_{f}=V_{0}(1+i)\longrightarrow V_{f}=1000\cdot (1+25\%)=1000(1,25)=1250cm^{3}\] restante do volume da embalagem será preenchido por outro sabor na forma sólida, de volume igual a $$2000-1250=750cm^{3}$$. Este valor é o volume ocupado após o congelamento. Para descobrir o valor colocado na forma líquida, é preciso utilizar a equação do acréscimo para encontrar o $$V_{0}$$, valor inicial.

\[V_{f}=750[V_{f}=750=V_{0}(1+25\%)=V_{0}\cdot 1,25\longrightarrow V_{0}=\frac{750}{1,25}=600cm^{3}\]span style="text-decoration: underline;">Resposta: c)

Questão

(ENEM 2012) A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar.

No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%.

Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 30 mar. 2012 (adaptado).

Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta $$a$$, diminui para um valor que é

a) 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao comprimento de seu lado.

b) 36% menor que V, porque a área da base diminui de $$a_{2}$$ para $$((1 − 0,2)a)^{2}$$ .

c) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de $$a3$$ para $$(0,8a)^{3}$$ .

d) 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original. E 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%.

Solução:

O volume inicial do cubo é $$C_{0}=a^{3}$$. Se o valor de $$a$$ é reduzido de 20%, isto significa que o novo tamanho da aresta será dado pela fórmula de desconto percentual.

\[V_{f}=a(1[V_{f}=a(1-20\%)=a\cdot (1-0,2)=0,8a\] volume final será $$C_{f}=(0,8a)^{3}=a^{3}\cdot 0,512= a^{3}\cdot (1-0,488)=a^{3}\cdot (1-48,8\%)=C_{0}\cdot (1-48,8\%)$$.

Resposta: c)

Questão

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(ENEM 2011) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:

  • Investimento A: 3% ao mês
  • Investimento B: 36% ao ano
  • Investimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece
algumas aproximações para a análise das rentabilidades:

Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá:
a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.
b) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%

c) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos
investimentos B e C.

d) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do
investimento A e de 18% do investimento C.

e) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que as rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.

Solução:

Comparamos cada investimento em um ano de aplicação. A fórmula utilizada é dos juros compostos, $$V_{f}=V_{0}(1+i)^{n}$$.

    • INVESTIMENTO A: São 12 meses no ano, então o acumulado anual (12 meses) será $$(1+3\%)^{12}=1,03^{12}=1,426 = (1+0,426)=(1+42,6\%)$$. Em um ano, a rentabilidade é de 42,6%.
  • INVESTIMENTO B: Não há o que calcular, já sabemos que sua rentabilidade é de 36% ao ano.
  • INVESTIMENTO C: São 2 semestres no ano, então o acumulado anual será $$(1+18\%)^{2}=1,18^{2}=1,3924=(1+0,3924)=(1+39,24)$$Em um ano, a rentabilidade é de 39,24%.

INVESTIMENTO em B < INVESTIMENTO em C < INVESTIMENTO em A

Resposta: c)

Exercícios: Nível 3

Questão

(ENEM 2012) Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento:

• Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55 000,00;

• Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30 000,00, e mais uma prestação de R$ 26 000,00 para dali a 6 meses.

• Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20 000,00, mais uma prestação de R$ 20 000,00, para dali a 6 meses e outra de R$ 18 000,00 para dali a 12 meses da data da compra.

• Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15 000,00 e o restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ 39 000,00.

• Opção 5: pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60 000,00.

Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor) em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo.

Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção

a) 1.

b)2.

c) 3.

d) 4.

e) 5.

Solução:

Analisemos cada um dos investimentos, com base na rentabilidade de 10% ao semestre.

OPÇÃO 2:

Com o pagamento de R$ 30.000,00, restam 55.000 – 30.000 = R$ 25.000 a serem investidos por um semestre. Deste modo, ao final de 6 meses, o acréscimo será $$V_{f}=25000\cdot (1+10\%)=1,1\cdot 25000 =R\$ 2.750,00$$. Após o pagamento da última prestação, o resíduo (valor que ficará em sua conta bancária após o pagamento) será de 2750-26000=R$ 1.750,00.

OPÇÃO 3:

Com o pagamento da entrada de R$ 20.000,00 , ele investirá o restante de R$ 55000-20000=R$ 35.000, pelos próximos 6 meses. Ao final deste período, ele terá $$V_{1}=35000\cdot (1+10\%)=35000\cdot 1,1=R\$ 38.500,00$$. Após o pagamento da primeira prestação, o resíduo será de 38500-20000=           R$ 18.500.

Este resíduo será aplicado por mais 6 meses. $$V_{2}=18500\cdot (1+10\%)=18500\cdot 1,1=R\$ 20.350,00$$. Após o pagamento da última prestação, ele terá um resíduo de R$ 20350,00-R$ 18000,00= R$ 2.350,00.

OPÇÃO 4

Restará o valor de R$ 55000-15000=R$ 40.000, o qual será aplicado por dois semestres seguidos (um ano). Pela fórmula de Juros Compostos, temos $$V_{f}=40000(1+10\%)^{2}=40000\cdot 1,1^{2}= R\$ 48.400,00$$.

Com o pagamento final, o resíduo será de 48400-39000=R$ 9.400,00.

OPÇÃO 5

Ele terá R$ 55.000,00 para investir por dois semestres. $$V_{f}=50000\cdot (1+10\%)^{2}=R\$ 66.550,00$$.

Após o pagamento único, ele terá um resíduo de 66.550,00 – 60.000,00=R$ 6.550,00.

Conclusão: a melhor opção será aquela que fornecer o melhor resíduo ao comprador, isto é, a opção 4.

Resposta: d)

Questão

(ENEM 2015) Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$180.000,00, a ser pago em 360 prestações mensais, com taxa de juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga um mês após a liberação dos recursos e o valor da prestação mensal é de R$500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do pagamento).

Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$500,00 e considere que não há prestação em atraso. Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago ao banco na décima prestação é de:

a) R$2.075,00.
b) R$2.093,00.
c) R$2.138,00.
d) R$2.255,00.
e) R$2.300,00.

Solução:

Ao final do primeiro mês, o casal deve o total R$ 180.000,00. Eles reduzirão este valor em R$ 500,00, mas também pagarão o equivalente a $$1\%\cdot 180000,00=R\$ 1.800,00$$. Ao todo, a prestação do primeiro mês será de $$500+1800$$.

Ao final do segundo mês, o casal deve o total de R$ 179.500,00 (é o saldo inicial – R$ 500,00 do mês anterior). Eles pagarão uma parte em R$ 500,00 e uma parte em $$1\%\cdot 179500,00= R$ 179,50$$.

Ao todo, a prestação do segundo mês será de $$500+179,50$$.

Este padrão repetir-se-á até o fim do financiamento. Seja $$n$$ o número que indica o mês e seja $$p_{n}$$ a prestação relativa ao mês $$n$$.

Quando $$n=1$$, $$p_{1}=500+ 180000\cdot 1\%$$.

Quando $$n=2$$, $$p_{2}=500 + (180000-500\cdot 1)\cdot 1\%)$$.

Quando $$n=3$$, $$p_{3}=500+ (180000-500\cdot 2)\cdot 1\%)$$.

E assim por diante.

No caso geral (fórmula), teremos: $$p_{n}=500+(180000-500\cdot (n-1))\cdot 1\%$$.

Basta calcular para $$n=10$$.

\[p_{10}=50[p_{10}=500+(180000-500\cdot (10-1))\cdot 1\%=500+(175500)\cdot 0,01=R\$ 2.255,00\]pan style="text-decoration: underline;">Resposta: d)

Nota: Este método de financiamento é conhecido por Sistema de Amortização Constante (SAC).

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