Resolução – ENEM 2016 (2ª aplicação) – Matemática (continuação 2)

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Questão

Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio $$R$$, com volume dado por $$\pi\frac{4R^{3}}{3}$$ .

Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos cilíndricos com raio da base $$\frac{R}{3}$$ , cujo volume será dado por $$\pi(\frac{R}{3})^{2}h$$, sendo $$h$$ a altura da nova embalagem. Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de $$R$$) deverá ser igual a

a) 2R.

b) 4R.

c) 6R.

d) 9R.

e) 12R.

Solução:

Igualamos as duas expressões e isolamos $$h$$.

\[\pi\frac{4R^{3}}{3}=\pi(\frac{R}{3})^{2}h\longrightarrow \frac{4\pi R^{3}}{3}:\frac{\pi R^{2}}{9}=h\Longrightarrow h=\frac{9\cdot 4\pi R^{3}}{3\pi R^{2}}=12R\]

Solução: e)

Questão

Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número $$f$$ de infectados é dado pela função $$f(t)=-2t^{2}+120t$$ (em que t é expresso em dia e t 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.

A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer. A segunda dedetização começou no

a) 19º dia.

b) 20º dia.

c) 29º dia.

d) 30º dia.

e) 60º dia.

Solução:

Precisamos encontrar o $$t$$, para o qual vale a expressão $$1600=f(t)=-2t^{2}+120t$$.

Assim, $$-2t^{2}+120-1600=0$$.

Por Bhaskara, temos

\[t=\frac{-120\pm\sqrt{1600}}{-4}=\frac{-120\pm 40}{-4}\]. Temos, portanto $$t_{1}=\frac{-120+40}{-4}=20$$ e $$t_{2}=\frac{-120-40}{-4}=40$$.

O vigésimo dia será o primeiro em que a epidemia atingirá o número de 1600 infectados.

Resposta: b)

Questão

Uma empresa europeia construiu um avião solar,como na figura, objetivando dar uma volta ao mundo, utilizando somente energia solar.

O avião solar tem comprimento AB igual a 20 m e uma envergadura de asas CD igual a 60 m. Para uma feira de ciências, uma equipe de alunos fez uma maquete desse avião. A escala utilizada pelos alunos foi de 3 : 400. A envergadura CD na referida maquete, em centímetro, é igual a

a) 5.

b) 20.

c) 45.

d) 55.

e) 80.

Solução:

Basta calcular a regra de três. Usaremos a distância CD em centímetros, ou seja, 60m = 6000cm.

3 cm(maquete) ———- 400 cm (real)

$$x$$ ———- 6000 cm (real)

$$400x=18000\longrightarrow x =\frac{18000}{400}=45cm$$.

Resposta: c)

Questão

A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a figura 2.

Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é igual a d. Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim?

a) 1.

b) $$(2\sqrt{10})/5$$.

c) $$\sqrt{10}/2$$.

d) 2.

e) $$\sqrt{10}$$.

Solução:


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