Resolução – FGV/Economia/SP (2018) – Matemática – 1ª fase (continuação 3)

Questão 10

Os termos de uma sequência são definidos recursivamente por : \[a_{1}=5 ; a_{n}=2+a_{n-1}\] para todo n ∈ IN, n ≥ 2. Sendo assim, a soma dos n primeiros termos dessa sequência será dada pela expressão (A) 7n – 2. (B) 3,5n² – 3,5n + 5. (C) n² – 17n + 60. (D) n² + 4n. (E) 2n + 3.

Solução:
Note que a sequência é uma progressão aritmética de razão $$r=2$$, e $$a_{1}=5$$. O termo geral é $$a_{n}=5+2(n-1)=2n+3$$. A soma dos n primeiros termos da progressão aritmética é $$S_{n}=(n/2)\cdot(a_{1}+a_{n})$$. Neste caso, temos $$S_{n}=(n/2)\cdot (2n+8n)=n^{2}+4n$$. Resposta: d)

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Questão 11

Uma aplicação financeira de C reais à taxa mensal de juros compostos de x% é resgatada depois de 8 meses no montante igual a C8 reais. Sendo assim, é um polinômio $$P(x)=C_{8}/C$$ de grau 8 cujo coeficiente do termo em $$x^{5}$$ será (A) $$70\cdot 10^{–10}$$. (B) $$35\cdot 10^{–8}$$. (C) $$56\cdot 10^{–10}$$. (D) $$35\cdot 10^{–10}$$. (E) $$21\cdot 10^{–10}$$.

Solução:
Desenvolvemos, pelo binômio de Newton, o termo multiplicador de $$x^{5}$$. Adotamos $$x\%=x\cdot 10^{-2}$$. $$T_{6}=T_{5+1}= C_{8,5}\cdot x^{5}= 56\cdot (x^{-2})^{5}=56\cdot x^{-10}$$. Resposta: c)

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Questão 12

A figura representa uma semicircunferência de diâmetro $$\bar{CD}$$, perfeitamente inscrita no retângulo ABCD. Sabe-se que P é um ponto de $$\bar{AB}$$, e que $$\bar{AP}$$ é diâmetro da circunferência que tangencia a semicircunferência maior em T.


Se CD = 8 cm, a área sombreada na figura é, em cm², igual a (A) (64-15π)/2 . (B) 32-8π . (C) (64-15π)/4 . (D) 32-8π . (E) 16-4π .

Solução:
https://youtu.be/8IZen3riCSA?t=41s