Fundação Getúlio Vargas Matemática

Resolução – FGV/Economia/SP (2018) – Matemática – 1ª fase (continuação 4)

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Questão 13

A figura indica três cartas, A, B e C, cada uma com um número inteiro positivo no verso.

A respeito dos números no verso das cartas, sabe-se que:
I. os três números são diferentes;
II. a soma dos três números é igual a 13;
III. os números estão em ordem crescente, da carta A para a C.

Alzira olhou apenas a carta A e disse que ainda não era possível saber os números das outras cartas. Cláudia olhou apenas a carta C e disse que ainda não era possível saber os números das outras cartas. Bruna olhou apenas a carta B e disse que ainda não era possível saber os números das outras cartas.
Considerando que cada uma ouviu o que foi dito por todas, e que todas utilizaram raciocínio perfeito em suas deduções com as informações que tinham até o momento em que olharam suas cartas, é correto afirmar que a carta B tem, em seu verso, o número
(A) 2.
(B) 3.
(C) 4.
(D) 5.
(E) 6.

Solução:

Não sabemos quais são os números, portanto devemos listar as possibilidades. Começaremos com A = 1. Lembre-se de que A<B<C.

Em ordem  (A+B+C), as possibilidades para somas são:

1 + 2 + 10;

1 + 3 + 9;

1 + 4 + 8;

1 + 5 + 7;

2 + 3 + 8;

2 + 4 + 7;

2 + 5 + 6;

3 + 4 + 6.

Se Alzira tivesse tirado o número 3, ela saberia os valores das outras duas cartas, pois a única tripla seria (3,4,6). Então esta possibilidade foi excluída.

Se Bruna tivesse tirado o número 2 ou o númer 5, ela saberia os valores das outras duas cartas, pois as únicas triplas seriam (1,2,10) e (1+5+7). Então esta possibilidade foi excluída.

Se Cláudia tivesse tirado os números 9 ou 6, ela saberia os valores das outras cartas. A última tripla foi excluída no caso de Alzira, então retiramos apenas as triplas (1+2+10), (2+5+6) e (1+3+9).

Temos a lista atualizada:

1 + 4 + 8;

2 + 3 + 8;

2 + 4 + 7;

Usando o raciocínio perfeito, a única opção que não pode ser definida contém B = 4. Note que ninguém saberá a carta da outra, pois há duas opções: $$A\in\{1,2\}$$, $$B\in\{4\}$$ e $$C\in\{7,8\}.


Questão 14

Um telhado retangular ABCD tem área igual a 120 m² e está conectado a uma calha de escoamento de água da chuva. A calha tem a forma de um semicilindro reto, de diâmetro
AF = DE = 0,4 m e capacidade igual a 720 litros.

Considerando DG = 5 m e adotando π = 3, a medida do ângulo agudo CDG, indicada na figura por α, é igual a
a) 75º.
b) 60º.
c) 45º.
d) 30º.
e) 15º.

Solução:


Questão 15

O produto do quadrado das potências de dois que vão, em sequência aritmética, de 2 até x é igual a y, o que se traduz por meio da igualdade $$2^{2} \cdot 4^{2} \cdot 8^{2} \cdot 16^{2} \cdot 32^{2}\cdot … \cdot x^{2} = y$$, com x e y sendo números naturais. Sabendo-se que x · y = 299, então, y é igual a

(A) $$2^{89}$$.
(B) $$2^{90}$$.
(C) $$2^{91}$$.
(D) $$2^{100}$$.
(E) $$2^{101}$$.

Solução:

As bases serão dadas pela progressão geométrica. Observe que $$b(i)=2^{i}$$. Identificamos $$x=b(n)=2^{n}$$. Substituindo esta expressão na sequência dos produtos, temos:

\[(2\cdot 4\cdot…\cdot x)^{2}=(2\cdot 2^{2}\cdot 2^{3}\cdot …\cdot 2^{n})^{2}\].

A igualdade à direita pode ser vista como $$y=2^{2(1+2+…+n)}$$.

Daqui, substituiremos na expressão $$x\cdot y = 2^{99}$$.

\[2^{n}\cdot 2^{2(1+…+n)}=2^{2(1+…+n)+n}=2^{99}\].

Observe que a expressão $$1+2+…+n$$ é a soma de uma progressão aritmética de termo inicial igual a 1 e termo final igual a n. A soma pode ser escrita assim: $$S_{n}=n(1+n)/2$$.

Tomando a igualdade anterior e a fórmula da soma da progressão aritmética, temos:

\[2\cdot (1+n)\cdot\frac{n}{2}+n=99\Longrihgtarrow n^{2}+2n-99=0\]

Resolvendo por Bhaskara, obtêm-se os valores $$n=9$$ e $$n=-11$$. Substituindo o primeiro valor em y, teremos $$ y = 2^{90}$$.

Resposta: b)

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Plenus