Resolução – FUVEST (2016) – Matemática (1ª Fase) (continuação)

Questão

Em um experimento probabilístico, Joana retirará aleatoriamente 2 bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa. Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter 2 azuis seja 1/3?

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

Solução:

O número procurado é $$x$$.

O espaço amostral terá um total de $$\frac{(6+x)\cdot (5+x)}{2!}$$ possibilidades, isto é, o número de de pares que podemos formar com 6 bolas azuis e $$x$$ bolas vermelhas, sem que a ordem importe (combinação dos (6+x) elementos tomados 2 a 2.

O evento (tirar duplas azuis) terá um total de $$\frac{6\cdot 5}{2!}$$ possibilidades, isto é, a combinação entre os 6 elementos, tomados 2 a 2.

A probabilidade de que duas bolas azuis sejam retiradas, equivalendo-se a 1/3, será

\[p=\frac{\frac{(6+x)\cdot (5+x)}{2!}}{\frac{6\cdot 5}{2!}}=\frac{1}{3}\Longrightarrow 90=(6+x)cdot (5+x)\Longrightarrow x^{2}+11x-60=0\].

Resolvendo por Bhaskara, obtém-se

\[x=\frac{-11\pm\sqrt{121-4\cdot(-60)}}{2}=\frac{-11+19}{2}\].

Escolhendo apenas o valor positivo, temos $$x=4$$.

Resposta: b)


Questão

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No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a, b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x² e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a

a) 2 + 2 2 b) 3 + 2 2 c) 4 + 2 2 d) 5 + 2 2 e) 6 + 2 2


Questão

Em uma classe com 14 alunos, 8 são mulheres e 6 são homens. A média das notas das mulheres no final do semestre ficou 1 ponto acima da média da classe. A soma das notas dos homens foi metade da soma das notas das mulheres. Então, a média das notas dos homens ficou mais próxima de

a) 4,3

b) 4,5

c) 4,7

d) 4,9

e) 5,1

Solução:

A soma da nota das mulheres será $$M$$; a soma da nota dos homens será $$H$$; $$x$$ será a média da classe. Do enunciado, depreende-se que $$H+M/14 = x$$ , $$M/8 = x+1$$ e $$H=M/2$$. Temos um sistema de três equações e três incógnitas.

\[H+M=14x \Longrightarrow H + 8(x+1)=14x\Longrightarrow H=6x-8\Longrightarrow M = 12x-16=8x+8\Longrghtarrow 4x=24\Longrightarrow x=6\]

\[M=8\cdot (6+1)=56\].

\[H=56/2=28\].

A média dos homens será $$\frac{28}{6}\cong 4,66$$.

Resposta: c)


Questão

No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ABC e ADC são retos, AB=AD=1, BC=CD=2 e BD é uma diagonal. O cosseno do ângulo BCD vale:

a)$$\frac{\sqrt{3}}{5}$$.

b)$$\frac{2}{5}$$.

c)$$\frac{3}{5}$$.

d)$$\frac{2\sqrt{3}}{5}$$.

e)$$\frac{4}{5}$$.

Solução:

 

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