Resolução – PUC – Campinas 2016 (Inverno) – Matemática

Questão 18

A medida anunciada da tela de monitor retangular é a medida da sua diagonal, normalmente expressa em polegadas. A proporção entre a largura e a altura de uma dessas telas de 50 polegadas é 4 : 3. A área dessa tela, em unidade polegadas quadradas, é igual a

a) 1.250.

b) 1.600.

c) 1.200.

d) 1.440.

e) 960.

Solução:

Seja $$x$$ a largura e $$y$$, a altura.A área do retângulo é $$A=xy$$.

Da proporção apresentada, $$\frac{x}{y}=\frac{4}{3}\longrightarrow 3x=4y\longrightarrow y=(3/4)x$$. Substituindo este $$y$$ na equação anterior, tem-se $$A=x\cdot y=x\cdot(3x/4)=x^{2}(3/4)$$.

A informação acerca da diagonal permite-nos escrever, pelo teorema de Pitágoras.

$$x^{2}+y^{2}=50^{2}$$.

Substituindo o valor de $$x$$ anteriormente, temos

\[2500=50^{2}=x^{2}+y^{2}=x^{2}+(3x/4)^{2}=x^{2}(1+9/4)=x^{2}(25/16)\longrightarrow x^{2}=1600\]

Retomando na fórmula da área, $$A=x^{2}(3/4)=1600(3/4)=1200$$.

Resposta: c)

Questão 24

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A figura abaixo ilustra a regra de proporção utilizada pelos egípcios. Por essa regra, uma figura humana, em pé, deve ocupar 18 quadrados da sola do pé ao couro cabeludo. Nessa regra, ao ser desenhada uma figura humana, a linha 12 deve passar pela região lombar e a linha do joelho deve corresponder a 1/3 da altura da figura.

proporcionalidade_regra de três

Supondo que fosse feito um desenho de figura humana sobre esse esquema de 18 quadrados, cada um com lado igual a 3,5 cm, a distância entre a linha da região lombar e a linha do joelho seria, em cm, de

a) 38,5.

b) 12,5.

c) 24,0.

d) 17,5.

e) 15,0.

Solução:

A altura do joelhos é de $$\frac{1}{3}\cdot 18\cdot 3,5=6\cdot 3,5$$ cm, isto é, resultado da multiplicação entre a altura dos quadrados com o número de quadrados e dividido por 3.

A lombar coincide com a coluna de número 12, portanto a altura da lombar será de 11 linhas abaixo da linha sobre a qual está, ou seja, $$11\cdot 3,5$$.

A diferença é $$11\cdot 3,5-6\cdot 3,5=5\cdot 3,5=17,5$$cm.

Resposta: d)

Questão 37

Um jogo de boliche é jogado com 10 pinos dispostos em quatro linhas, como mostra a figura abaixo.


Se fosse inventado um outro jogo, semelhante ao boliche, no qual houvesse um número maior de pinos, dispostos da mesma forma, e ao todo com 50 linhas, o número de pinos necessários seria igual a

a) 1125.

b) 2525.

c) 2550.

d) 1625.

e) 1275.

Solução:

Cada linha representa um termo da sequência numérica a seguir.

$$a_{1}=1$$ , $$a_{2}=2$$,$$a_{3}=3$$ e $$a_{5}=5$$.

Mantendo-se esta configuração, para as próximas 45 linhas, o termo geral da sequência (Progressão Aritmética) será: $$a_{n}=n$$, e,portanto, a última linha terá 50 pinos, $$a_{50}=50$$.

O número de pinos no total é calculado a partir da soma dos 50 termos desta progressão aritmética. Recorde a fórmula da soma $$S_{n}=n\frac{a_{1}+a_{n}-1}{2}$$.

\[S_{50}=50\cdot\frac{1+50}{2}=25\cdot 51=1.275\].

Resposta: e)

Questão 39

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A figura mostra o ângulo de visão que um mesmo observador tem de uma estrutura de caixa d’água em dois pontos diferentes. Sabe-se que a altura dos olhos, em relação ao piso plano sobre o qual a estrutura está apoiada perpendicularmente, é exatamente a metade da altura da estrutura da caixa d’água, e que a distância entre os dois pontos de observação é de 2 metros.

 

A partir dessas informações, é possível determinar que a altura da estrutura da caixa d’água, em metros, é igual a

Solução:

Observe o esquema montado sobre a figura original e os triângulos recriados.

Sabendo que o segmento de reta $$\overline{AE}$$ é uma bissetriz dos ângulos de 60º e 90º, então o ângulo $$E\hat{A}B = 30^{\circ}$$ e o ângulo $$E\hat{D}B=45^{\circ}$$.

Utilizando as tangentes, teremos, do triângulo $$AEB$$, $$tg(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{x+2}$$ e teremos, do triângulo $$DEB$$, $$tg(45^{\circ})=1=\frac{h}{x}\longrightarrow h=x$$.

Substituindo $$h=x$$, na primeira equação, obtém-se

\[\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{x+2}=\frac{h}{h+2}\longrightarrow 3h=\sqrt{3}h+2\longrightarrow h(3-\sqrt{3})=2\sqrt{3}\longrightarrow h=\frac{2\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\]

\[\frac{2\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{6\sqrt{3}+6}{6}=\sqrt{3}+1\].

A altura da caixa d´agua será $$2h=2\sqrt{3}+2$$.

Resposta: c)

Questão 49

A figura abaixo é a reprodução de uma obra de Mondrian.

 

Junto a alguns lados dos retângulos estão marcadas referências às medidas de seus lados. A soma das áreas dos retângulos I e II corresponde, da área do retângulo III, aproximadamente, a

a) 78%.

b) 86%.

c) 81%.

d) 92%.

e) 74%.

Solução:

As áreas são calculadas como o produto entre a largura e a altura.

I – $$A_{I}=(b/2)a$$ ; II – $$A_{II}=ab$$ ; III – $$A_{III}=(7a/4)b$$.

$$A_{I}+A_{II}=ab/2 + ab = 3ab/2$$.

O percentual é calculado ao dividirmos a área menor pela área maior.

\[\frac{A_{I}+A_{II}}{A_{III}}=\frac{\frac{3ab}{2}}{\frac{7ab}{4}}=\frac{3ab}{2}\cdot\frac{4}{7ab}=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}\cong 0,86=86\%\]

Resposta: b)


 

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