Resolução – UEMG 2016 – Matemática

Questão 25

No mês de outubro do ano de 2014, devido às comemorações natalinas, um comerciante aumentou os preços das mercadorias em 8%. Porém, não vendendo toda a mercadoria, foi feita, em janeiro do ano seguinte, uma liquidação dando um desconto de 6% sobre o preço de venda .
Uma pessoa que comprou um objeto nessa loja, em janeiro de 2015, por R$ 126,90, pagaria em setembro, do ano anterior, uma quantia
a) menor que R$ 110,00.
b) entre R$ 120,00 e R$ 128,00.
c) igual a R$ 110,00.
d) entre R$ 110,00 e R$ 120,00.

Solução:

Recorde-se das fórmulas de acréscimo e desconto percentuais.

\[V_{final}=V_{inicial}(1+i)\]

\[V_{final}=V_{inicial}(1-i)\]

Com $$i$$, o percentual de acréscimo ou desconto.

Seja $$V_{0}$$ o valor inicial da mercadoria, antes do Nata. Com o aumento inicial, o valor de dezembro passou a ser $$V_{1}=V_{0}(1+8\%)=1,08V_{0}$$.

Em janeiro, o valor de dezembro reduziu-se em 6%, tornando-se $$V_{2}=V_{1}(1-6\%)=1,08V_{0}(1-6\%)=1,08\cdot 0,94\cdot V_{0}$$. Mas $$V_{2}=126,90$$, então obtém-se

\[1,08\cdot 0,94\cdot V_{0}=126,90\Longrightarrow V_{0}=\frac{126,90}{1,08\cdot 0,94}=R\$ 125,00 \]

Resposta: b)

Questão 26

Observe a figura:

Tendo como vista lateral da escada com 6 degraus, um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa √10 metros, Magali observa que todos os degraus da escada têm a mesma altura. A medida em cm, de cada degrau, corresponde aproximadamente a:
a)    37.
b)    60.
c)    75.
d)    83.

Solução:

Calcule, inicialmente, o valor da altura (cateto) do triângulo da figura. Como o triângulo é Isósceles, os dois catetos possuem a mesma medida, denotada aqui por $$x$$. Por Pitágoras, obtemos:

\[\sqrt{10}^{2}=x^{2}+x^{2}\Longrightarrow x=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{5 m}\].

Todos os degraus tem a mesma altura e a escada tem 6 degraus, portanto é fácil notar que a altura calculada do triângulo é equivalente à soma das alturas iguais dos degraus, isto é, $$6h=\sqrt{5}$$.

Deste modo, $$h=\frac{\sqrt{5}}{6}\cong 0,372 m =37,2 cm$$.

Resposta: a)

Questão 27

O lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L = R – C, onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma fábrica de tratores  produziu $$n$$ unidades e verificou que o custo de produção era dado pela função C(n) = n² – 1000n e a receita representada por R(n) = 5000n –2n². Com base nas informações acima, a quantidade $$n$$  de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo corresponde a um número do intervalo
a)    580 < n < 720
b)    860 < n < 940
c)    980 < n < 1300
d)    1350 < n < 1800

Solução:

Das expressões, obtém-se

\[L(n)=5000n-2n^{2}-(n^{2}-1000n)=-3n^{2}+6000n\].

Recorde-se da fórmula do “xis do vértice" de uma parábola, $$x_{v}=\frac{-b}{2a}$$. Este é o valor de $$n$$ que faz com que a função $$L(n)$$ seja máxima.

\[x_{v}=-\frac{6000}{2\cdot (-3)}=1000\].

Resposta: c)

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