RESOLUÇÃO – UEMG 2017 – MATEMÁTICA

Questão

Os números 258 e 179 têm seus algarismos escritos em ordem crescente. Os números 558 e 496 não têm seus algarismos escritos em ordem crescente. Quantos são os números de três algarismos no qual esses algarismos aparecem em ordem crescente?

a) 84

b) 120

c) 504

d) 720

Solução:

Façamos um exemplo. Números iniciados com o algarismo 9 podem ser formados da seguinte forma, seguindo o critério requerido:

98_ , com o último dígito sendo elemento do conjunto {0,1,2…,7} – isto perfaz um total de 8 possibilidades

97_ , com o último dígito sendo elemento do conjunto {0,1,2…,6} – isto perfaz um total de 7 possibilidades

92_ , com o último dígito sendo elemento do conjunto {0,1} – isto perfaz um total de 6 possibilidades

91_ , com o último dígito sendo elemento do conjunto {0} – isto perfaz um total de 1 possibilidade

 

Observamos, portanto, existirem, para números sob o critério do enunciado, 8+7+6+…+1 possibilidades. Note que, para calcular esta soma, podemos utilizar a fórmula da soma de uma Progressão Aritmética, onde $$a_{1}=1$$ e $$a_{8}=8$$, fornecendo o resultado: $$S_{8}=8\cdot\frac{8-1}{2}=28$$.

 

Os próximos números seguirão o mesmo padrão do enunciado, e cada um terá um total $$S_{n}$$ de possibilidades. O último é o número iniciado pelo algarismo 2. ($$S_{7}, S_{6},…,S_{2}$$).

Calculando os valores, teremos: $$S_{7}=21$$ , $$S_{6}=15$$, $$S_{5}=10$$, $$S_{4}=6$$. $$S_{3}=3$$ e $$S_{2}= 1$$.

Finalmente, somamos estes 8 resultados e obtemos o valor desejado.

\[28+21+15+10+6+3+1=84\].

Resposta: a)


Questão

HP Brazil

Uma bebida A é comercializada em garrafas de 600 ml pelo preço de R$ 250,00 a garrafa, enquanto uma bebida B é vendida em garrafas de 1 L, custando R$ 200,00 a garrafa. Dessa forma, comparando os preços por litro dessas duas bebidas, é correto afirmar que

a) a bebida A é 25% mais cara do que a bebida B.

b) a bebida B é 20% mais barata do que a bebida A.

c) a bebida B é 40% mais barata do que a bebida A.

d) a bebida B é 52% mais barata do que a bebida A. •

Solução: 

Dividimos o preço da garrafa por seu volume respectivo, a fim de obtermos o preço por mililitro das bebidas.

A: $$\frac{250}{600}=\frac{5}{12} \cong 0,416R\$/mL$$

B: $$\frac{200}{1000}=\frac{1}{5} = 0,2 R\$/mL$$

A bebida A é mais cara! Para sabermos o percentual de desconto de B em relação à bebida A, utilizamos a fórmula $$V_{B}=V_{A}\cdot (1-i)$$, onde $$i$$ é o percentual.

\[0,2=0,416\cdot (1-i)\Longrightarrow i=1-\frac{0,2}{0,416}\cong 1-0,48 = 0,52 = 52\%\]

Resposta: d)


Questão

Seja p(x) um polinômio do 2° grau, satisfazendo as seguintes condições:

• –1 e 4 são raízes de p(x).

•  p(5) = –12.

O maior valor de x para o qual p(x) = 8 é

a) 0.

b) 3.

c) 6.

d) 12.

Solução:

Utilizando soma e produto, obteremos os coeficientes da equação $$ax^{2}+bx+c$$.

$$-1+4=-\frac{b}{a} \Longrightarrow b=-3a$$.

$$(-1)\cdot 4 = -4=\frac{c}{a}\Longrightarrow c = -4a$$.

$$-12=p(5)=a5{2}+5b+c=25a-15a-4a\Longrightarrow -12=6a\Longrightarrow a = -2$$.

A equação da parábola é $$p(x)=-2x^{2}+6x+8$$.

Além disso, $$8=p(x)=-2x^{2}+6x+8\Longrightarrow -2x^{2}+6x=0\Longrightarrow x(6-2x)=0$$.

Assim, teremos $$x=0$$ ou $$x=3$$.

Resposta: b)

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