Resolução – UERJ 2017 (2º Exame de Qualificação) – Matemática (continuação)

Questão 25

Considere a matriz $$A_{n\times 9}$$ de nove colunas com números inteiros consecutivos, escrita a seguir.

Se o número 18109 é um elemento da última linha, linha de ordem n, o número de linhas dessa matriz é:

a) 2011

b) 2012

c) 2013

d) 2014

Solução:

Observe que cabem apenas 9 inteiros em cada linha da matriz, uma vez que esta matriz possui 9 colunas.

Se dividirmos o número 18109 por 9 e deixarmos o resto desta divisão indicado, obteremos o resto igual a 1 e o quociente igual a 2012. Pelo algoritmo de Euclides, escrevemos

\[18109:9=2012\cdot 9 + 1\].

Isto significa que, após 2012 linhas de 9 elementos (colunas), o valor 18109 encontra-se na linha seguinte, por causa do resto não nulo. Por ser dito que este elemento faz parte da última linha da matriz, só podemos concluir que $$n=2013=2012+1$$.

Questão 26

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Dois cubos cujas arestas medem 2 cm são colados de modo a formar o paralelepípedo ABCDA’B’C’D’. Esse paralelepípedo é seccionado pelos planos ADEF e BCEF, que passam pelos pontos médios F e E das arestas A’B’ e C’D’, respectivamente. A parte desse paralelepípedo compreendida entre esses planos define o sólido ABCDEF, conforme indica a figura a seguir.

O volume do sólido ABCDEF, em cm3 , é igual a:

a) 4

b) 6

c) 8

d) 12

Solução:

Questão 27

No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da função definida por f (x) = x² + 2, com x ∈ IR , e os vértices dos quadrados adjacentes ABCD e DMNP.


Observe que B e P são pontos do gráfico da função f e que A, B, D e M são pontos dos eixos coordenados. Desse modo, a área do polígono ABCPNM, formado pela união dos dois quadrados, é:

a) 20

b) 28

c) 36

d) 40

Solução:

O ponto B corresponde ao vértice (ponto de mínimo) desta parábola. Queremos obter o $$y_{v}$$, a fim de encontrarmos a altura daquele quadrado.

Note que $$f(x)=x^{2}+2$$, então $$a=1$$, $$b=0$$ e $$c=2$$.

Para isso, basta fazer

\[y_{v}=-\frac{-\Delta}{4a}=-\frac{b^{2}-4ac}{4a}=-\frac{-8}{4\cdot 1}=2\].

Portanto o lado do quadrado ABCD é 1. O ponto P terá coordenadas (2,y). Para calcular sua coordenada $$y$$, basta substituir $$x=2$$ na parábola, pois P está sobre a parábola, portanto satisfaz a equação dela.

\[f(1)=2^{2}+2=6\].

O ponto P é tal que P=(1,6). Logo o quadrado DPNM tem lado medindo 3.

\[A_{total}=A_{ABCD}+A_{DPNM}=2^{2}+6^{2}=40\]

Resposta: d)

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