Resolução – UERJ 2017 (2º Exame de Qualificação) – Matemática

Questão 22

Observe a matriz:

\[A=\left[\begin{array}{cc} 3+t&-4\\3&t-4 \end{array}\right]\]

Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t deve ser igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

Solução: Calculando o determinante, faça diagonal principal menos diagonal secundária.

\[det(A)=(3+t)(t-4)-(-4)(3)=3t-12+t^{2}-4t+12=t^{2}-t\].

Para que seja identicamente nula, teremos $$t^{2}-t=0\longrightarrow t(t-1)=0$$. Logo $$t=0$$ ou $$t=1$$.

Resposta: a)

Questão 23

Um anel contém 15 gramas de ouro 16 quilates. Isso significa que o anel contém 10 g de ouro puro e 5 g de uma liga metálica. Sabe-se que o ouro é considerado 18 quilates se há a proporção de 3 g de ouro puro para 1 g de liga metálica. Para transformar esse anel de ouro 16 quilates em outro de 18 quilates, é preciso acrescentar a seguinte quantidade, em gramas, de ouro puro:

a) 6

b) 5

c) 4

d) 3

Solução:

Representamos as proporções pela fração com numerador igual à quantidade de ouro puro, e denominador igual à quantidade da liga metálica.

Observe que, para o ouro 18 quilates, a proporção será $$\frac{3}{1}=3$$. Como devemos manter esta proporção constante, acrescentamos um valor $$x$$ à massa inicial de ouro puro de 10g. A proporção que buscamos é da forma

\[\frac{10+x}{5}=3\Longrightarrow 10+x=15\Longrightarrow x=15-10=5g\].

Resposta: b)

Questão 24

Uma pirâmide com exatamente seis arestas congruentes é denominada tetraedro regular.Admita que a aresta do tetraedro regular ilustrado a seguir, de vértices ABCD, mede 6 cm e que o ponto médio da aresta BC é M.

O cosseno do ângulo AMD equivale a:

a) 1/2

b) 1/3

c) 2/3

d) 2/5

Solução:

 

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