Matemática Uerj

Resolução – UERJ 2018 – Exame Discursivo – Matemática (parte 4)

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Questão 07

No plano cartesiano a seguir, estão representados os gráficos das funções f e g, sendo P e Q seus pontos de interseção.

Determine a medida do segmento PQ.

Solução:


Questão 08

No projeto de construção de uma estrada retilínea entre duas vilas, foi escolhido um sistema referencial cartesiano em que os centros das vilas estão nos pontos A(1,2) e B(11,7). O trecho AB é atravessado por um rio que tem seu curso em linha reta, cuja equação, nesse sistema, é x + 3y = 17. Observe abaixo o esboço do projeto.

Desprezando as larguras da estrada e do rio, determine as coordenadas do ponto de interseção I.

Solução:

Passo 1:

Calcularemos a equação da reta que representa a estrada, dados os pontos das cidades A e B. A equação da reta é $$y=ax+b$$. Faremos um sistema com duas equações e duas incógnitas, substituindo os valores de $$x$$ e $$y$$ dos pontos nas respectivas equações.

A=(x,y)=(1,2): $$2 = a\cdot 1 + b = a+b$$.

B=(x,y)=(11,7): $$7 = 11a+b$$.

Faremos a equação de baixo menos a equação de cima:

\[7-2=11a-a+b-b\Longrightarrow 5 = 10a\Longrightarrow a = 1/2\].

Substituindo na primeira: $$2=(1/2)+b\Longrightarrow b=3/2$$.

A equação é $$y=\frac{x+3}{2}$$.

Passo 2:

A intersecção entre as equações é obtida ao substituirmos uma expressão na outra. Em particular, faremos a substituição na equação que representa o rio.

\[x+3\cdot\frac{x+3}{2} = 17\Longrightarrow 2x + 3x+9=34\Longrightarrow 5x=25\Longrightarrow x=5\].

Pondo $$x=5$$ na equação da estrada, obtemos a expressão $$y=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$$.

O ponto de intersecção é (5,4).

 

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