Resolução – UNESP 2016 (1ª Fase) – Matemática

Questão

A taxa de analfabetismo representa a porcentagem da população com idade de 15 anos ou mais que é considerada analfabeta. A tabela indica alguns dados estatísticos referentes a um município.

Taxa de analfabetismo         População com menos de 15 anos         População com 15 anos ou mais

                         8%                                                    2000                                                             8000

Do total de pessoas desse município com menos de 15 anos de idade, 250 podem ser consideradas alfabetizadas. Com base nas informações apresentadas, é correto afirmar que, da população total desse município, são alfabetizados

a)76,1%.

b)66,5%.

c)94,5%.

d)89,0%.

e)71,1%

Solução:

O número de pessoas com mais de 15 anos que são alfabetizadas, é calculado a seguir. Considerando que 92% dos que tem mais de 15 anos é alfabetizado, o cálculo seguirá: $$92\%\cdot 8000=\frac{92}{100}\cdot 8000=7360$$ pessoas.

Somando-se este valor aos 250 alfabetizados, com idade inferior a 15 anos, teremos $$7360+250= 7610$$ pessoas alfabetizadas. A população total é $$2000+8000=10.000$$ pessoas.

O percentual dos alfabetizados, no total populacional é $$\frac{7610}{10000}=\frac{761}{1000}=\frac{76,1}{100}=76,1\%$$.

Resposta: a)

Questão

Uma imobiliária exige dos novos locatários de imóveis o pagamento, ao final do primeiro mês no imóvel, de uma taxa, junto com a primeira mensalidade de aluguel. Rafael alugou um imóvel nessa imobiliária e pagou R$ 900,00 ao final do primeiro mês. No período de um ano de ocupação do imóvel, ele contabilizou gastos totais de R$ 6.950,00 com a locação do imóvel. Na situação descrita, a taxa paga foi de

a) R$ 450,00.

b) R$ 250,00.

c) R$ 300,00.

d) R$ 350,00.

e) R$ 550,00

Solução:

Foram 12 parcelas iguais, com a primeira delas adicionada a uma taxa exigida pela locação.

Assim, as 11 parcelas, de valor $$p$$, foram somadas aos R$ 900,00 para que a despesa final resultasse em R$ 6.950,00.

\[11p+900=6950\longrightarrow 11p=6950-900=6050\longrightarrow p=\frac{6050}{11}=R\$ 550,00\].

O valor da taxa foi de 900-550 = R$ 350,00

Resposta: d)

Questão

A figura indica o padrão de uma sequência de grades, feitas com vigas idênticas, que estão dispostas em posição horizontal e vertical. Cada viga tem 0,5 m de comprimento. O padrão da sequência se mantém até a última grade, que é feita com o total de 136,5 metros lineares de vigas.

O comprimento do total de vigas necessárias para fazer a sequência completa de grades, em metros, foi de

a) 4877.

b) 4640.

c)4726.

d)5195.

e)5162

Solução:

 

Questão

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Um dado convencional e uma moeda, ambos não viciados, serão lançados simultaneamente. Uma das faces da moeda está marcada com o número 3, e a outra com o número 6. A probabilidade de que a média aritmética entre o número obtido da face do dado e o da face da moeda esteja entre 2 e 4 é igual a:

a) 1/3

b) 2/3

c) 1/2

d) 3/4

e) 1/4

Solução:

Consideremos os possíveis eventos deste lançamento duplo.

Face = 3 + {1,2,3,4,5,6} – Médias:

  • (3+1)/2 = 2
  • (3+2)/2 = 2,5
  • (3+3)/2 = 3
  • (3+4)/2 = 3,5
  • (3+5)/2 = 4
  • (3+6)/2 = 4,5

Cada uma destas médias tem probabilidade de sair igual a $$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$$, pois é o produto entre a probabilidade de sair o número 3 na moeda e sair uma face no dado.

Face = 6 + {1,2,3,4,5,6}

  • (6+1)/2 = 3,5
  • (6+2)/2 = 4
  • (6+3)/2 = 4,5
  • (6+4)/2 = 5
  • (6+5)/2 = 5,5
  • (6+6)/2 = 6

Cada uma destas médias tem probabilidade de sair igual a $$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$$, pois é o produto entre a probabilidade de sair o número 3 na moeda e sair uma face no dado.

Observe que há médias que ocorrem nos dois casos (duas faces da moeda), então devemos somar estas probabilidades, pois os eventos “Sair 3,5 com a face 3" e “Sair 3,5 com a face 6" são mutuamente exclusivos.

Sair média em {2; 2,5; 3 ; 5; 5,5 ; 6} – $$p=\frac{1}{12}$$, para cada média do conjunto anterior.

Sair média em {3,5 ; 4; 4,5} : $$2\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$$, para cada média do conjunto anterior.

Agora, a probabilidade de que a média esteja entre 2 e 4, é a soma das probabilidades de que a média esteja no conjunto {2,5 ; 3 ; 3,5}, pois os eventos são mutuamente exclusivos; $$p=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$

Resposta: a)

Questão

Renata pretende decorar parte de uma parede quadrada ABCD com dois tipos de papel de parede, um com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. O projeto prevê que a parede seja dividida em um quadrado central, de lado x, e quatro retângulos laterais, conforme mostra a figura.

Se o total da área decorada com cada um dos dois tipos de papel é a mesma, então x, em metros, é igual a

Solução:

A área retangular de uma das partes que será preenchida com linhas diagonais, é $$2\cdot [(x+4)-2]=2x-4$$. Pela figura, nota-se que duas partes retangulares serão preenchidas, totalizando uma área de $$2(2x-4)=4x-8$$.

A área quadrada tem valor de $$x^{2}$$ e será igual à área dos dois retângulos preenchidos somados, deste modo $$x^{2}=4x-8\longrightarrow x^{2}-4x-8=0$$.

As raízes desta equação são obtidas pela fórmula de Bhaskara.

\[\frac{4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\frac{4\pm\sqrt{48}}{2}=\frac{4\pm4\sqrt{3}}{2}=2\pm 2\sqrt{3}\].

Resposta: b)

Questão

Um paralelepípedo retoretângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura.

Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de

a)42%.

b)36%.

c)32%.

d)26%.

e)28%

Solução:

1) A área da superfície do paralelepípedo original fornece-nos a quantidade de tinta que deve ser empregada. Observando a figura, nota-se que a superfície é composta por duas áreas retangulares (base e tampa), de área $$3\cdot 4 =12cm^{2}$$.

Também há 2 faces retangulares, cujas áreas são $$1\cdot 3= 3cm^{2}$$, e duas, cujas áreas são $$1\cdot 4=4cm^{2}$$.. Ao todo, a área do paralelepípedo é $$2\cdot 12+ 2\cdot 3+2\cdot 4= 38cm^{2}$$.

2) A área total das duas figuras obtidas pode ser calculada ao somarmos ,à área calculada anteriormente, duas faces retangulares obtidas no corte, destacadas em laranja.

As medidas destas faixas retangulares são a diagonal da face maior do paralelepípedo original e a altura do paralelepípedo original.

A diagonal do retângulo em questão é calculada $$d^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25\longrightarrow d = 5$$.

A área das faces obtidas é, portanto, $$5\cdot 1=5cm^{2}$$. Por serem duas, temos uma adição de $$10cm^{2}$$ à área original, totalizando $$38+10=48cm^{2}$$.

3) Cálculo do acréscimo percentual.

Utilizando a fórmula do acréscimo percentual, $$V_{f}=V_{0}(1+i)$$, obtemos o valor de $$i$$.

\[82=V_{f}=V_{0}(1+i)=72(1+i)\Longrightarrow i=\frac{48}{38}-1=26,31\%\]

Resposta: d)

Questão

Um torneio de futebol será disputado por 16 equipes que, ao final, serão classificadas do 1º ao 16º lugar. Para efeitos da classificação final, as regras do torneio impedem qualquer tipo de empate.Considerando para os cálculos log 15! = 12 e log 2 = 0,3, a ordem de grandeza do total de classificações possíveis das equipes nesse torneio é de

a)bilhões.

b)quatrilhões.

c)quintilhões.

d)milhões.

e)trilhões.

Solução:

O total de possibilidades de classificações é o valor de 16!.

A ordem de grandeza deste numero é o expoente da base 10 que acompanha o número, em forma de notação científica, isto é,  o valor

\[log_{10}16!=log 15!\cdot 16=log(15!)+log 16 = log(15!)+log(2^{4})=log(15!)+4\cdot log(2)=12+4\cdot 0,3=13,2\].

Sabemos que o milhão equivale à ordem de grandeza igual a 6 (há 6 casas numéricas), o bilhão, à ordem igual a 9 (há 9 casas numéricas) e o trilhão corresponde a 12 zeros.

Resposta: e)

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