Resolução – UNESP 2016 Meio do Ano (1ª Fase) – Matemática (continuação)

Questão

Um cubo com aresta de medida igual a x centímetros foi seccionado, dando origem ao prisma indicado na figura 1.A figura 2 indica a vista superior desse prisma, sendo que AEB é um triângulo equilátero.

Sabendo-se que o volume do prisma da figura 1 é igual a $$2(4-\sqrt{3})cm^{3}$$, $$x$$ é igual a:

a) 2

b) 7/2

c) 3

d) 5/2

e) 3/2

Solução:

Há um prisma gerado pela base triangular AEB. Seu volume é exatamente o valor da altura deste prisma (a aresta x) multiplicada pela área do triângulo AEB. O volume do cubo é a soma do volume deste prisma com base AEB, e o volume do prisma da figura original.

A área de um triângulo equilátero é dada por $$A=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$$, com $$l$$, o comprimento dos lados do triângulo equilátero. Observando a figura 2 do enunciado, nota-se que o lado deste triângulo é exatamente $$l=x$$, pois sua base AB coincide com um dos lados da face quadrada do cubo.

\[A=\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}\;;\; V=xA=\frac{x^{3}\sqrt{3}}{4}\].

O volume do cubo é $$x^{3}$$, portanto

\[x^{3}=2(4-\sqrt{3})+\frac{x^{3}\sqrt{3}}{4}=\frac{32-8\sqrt{3}+x^{3}\sqrt{3}}{4}=x^{3}\Longrightarrow\]

\[4x^{3}-\sqrt{3}x^{3}=32-8\sqrt{3}\Longrightarrow x^{3}(4-\sqrt{3})=32-8\sqrt{3}\Longrightarrow\]

\[x^{3}=\frac{32-8\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}=8\Longrightarrow x^{3}=8\Longrightarrow x=2\].

Resposta: a)

Questão

300x250-generica

Uma colher foi solta 978 vezes ao acaso em direção ao chão. O registro da posição em que ela caiu sobre o chão está indicado na tabela.

Usando as informações da tabela, é correto concluir que a probabilidade de a colher cair sobre o chão virada para cima é a mesma probabilidade de se obter, no lançamento de um dado convencional honesto de seis faces, um número

a) maior que 4.

b)primo.

c)menor que 6.

d)múltiplo de 5.

e)maior que 2

Solução:

A probabilidade de que a colher caia com a face virada para cima, é $$\frac{652}{978}=\frac{326}{489}=0,6667$$.

Analisemos as probabilidades de cada evento indicado nos itens.

  • Face maior que 4> Retirar os números 5 ou 6: $$p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=0,333$$
  • Face prima> Retirar os números 2,3 e 5: $$p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5$$.
  • Face menor que 6> Retirar os números 1,2,3,4 ou 5 $$p=\frac{5}{6}=0,8333$$.
  • Face múltipla de 5> Retirar o número 5: $$p=\frac{1}{6}=0,1666$$.
  • Face maior que 2> Retirar os números 3,4,5 ou 6: $$p=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}=0,6667$$.

Resposta: e)

Questão

A figura descreve o gráfico de uma função exponencial do tipo $$y=a^{x}$$, de $$\mathbb{R}$$ e, $$\mathbb{R}$$.
Nessa função, o valor de y para x = –0,5 é igual a

Solução:

Do gráfico, temos os pontos (0 ; 1) e (1 ; 0,2). Substituindo na forma geral da equação, podemos obter a base $$a$$, da função.

$$0,2=f(1)=a^{1}=a\longrightarrow a=0,2$$.

Agora, retomamos à equação: $$y=f(-0,5)=0,2^{-0,5}=(2/10)^{-1/2}=(10/2)^{1/2}=5^{1/2}=\sqrt{5}$$.

Resposta: c)

Questão

Um ponto P, de coordenadas (x, y) do plano cartesiano ortogonal, é representado pela matriz coluna $$ A=\left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]$$, assim como a matriz coluna $$ A=\left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]$$ representa, no plano cartesiano ortogonal, o ponto P de coordenadas (x, y).

Sendo assim, o resultado da multiplicação matricial $$ \left[\begin{array}{cc} 0& -1\\ 1&0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]$$ é uma matriz coluna que, no plano cartesiano ortogonal, necessariamente representa um ponto que é

a)uma rotação de P em 180º no sentido horário, e com cen-tro em (0, 0).

b)uma rotação de P em 90º no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0).

c)simétrico de P em relação ao eixo horizontal x.

d)simétrico de P em relação ao eixo vertical y.(E)uma rotação de P em 90º no sentido horário, e com cen-tro em (0, 0).

Solução:

Prosseguindo com a multiplicação matricial, teremos:

\[\left[\begin{array}{cc} 0& -1\\ 1&0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\cdot x-y\\ x+0y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -y\\ x \end{array}\right]\].

Observamos que a multiplicação matricial transforma um ponto (x,y), noutro ponto (-y,x).

Através da figura, podemos observar que ocorre uma rotação de 90º à esquerda (sentido anti-horário).

Resposta: b)

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