Resolução – UNESP 2016 Meio do Ano (1ª Fase) – Matemática

Questão

O Ministério da Saúde e os estados brasileiros investigaram 3670 casos suspeitos de microcefalia em todo o país. O boletim de 02 de fevereiro aponta que, desse total, 404 tiveram confirmação de microcefalia ou de outras alterações do sistema central, e outros 709 casos foram descartados. Anteriormente, no boletim de 23 de janeiro, havia 732 casos investigados e classificados como confirmados ou como descartados.

(https://agencia.fiocruz.br. Adaptado.)

De acordo com os dados do texto, do boletim de 23 de janeiro para o de 02 de fevereiro, o aumento no número de casos classificados, como confirmados ou como descartados, foi de, aproximadamente,

a)52%.

b)30%.

c)66%.

d)48%.

e)28%

Solução:

O total de casos confirmados, ou descartados, em 2 de fevereiro, foi de 404+709 = 1.113.

Utilizando a fórmula do acréscimo percentual, partindo dos 732 casos de janeiro, teremos:

\[1113=V_{f}=V_{0}(1+i)=732(1+i)\longrightarrow 1+i=\frac{1113}{732}=1,5205\longrightarrow i =1,5205-1=0,5205=52,05\%\].

Resposta: a)

Questão

Em um terreno retangular ABCD, de 20m², serão construídos um deque e um lago, ambos de superfícies retangulares de mesma largura, com as medidas indicadas na figura. O projeto de construção ainda prevê o plantio de grama na área restante, que corresponde a 48% do terreno.

No projeto descrito, a área da superfície do lago, em m², será igual a

a)4,1.

b)4,2.

c)3,9.

d)4,0.

e)3,8

Solução:

Se a largura do terreno é de 5m e sua área é de 20m², então o outro lado do retângulo sairá desta equação: $$20=A=ab=5b\longrightarrow b=20/5=4m$$.

A largura do deque e a largura do lago são idênticas, de valor $$l$$. A área do deque será $$A_{deque}=4l$$, pois o deque terá o tamanho horizontal do terreno, isto é, 5m.

A área do lago será $$A_{lago}= (4-1-0,5)l=2,5l$$, pois o tamanho horizontal do lago é o tamanho horizontal do terreno menos as dimensões apresentadas na figura, como sendo parte do gramado.

Se 48% da área total é gramada, então 52% correspondem a área somada do lago e do deque. Os 52% são $$52\%\cdot 20= 10,4m^{2}$$.

\[A_{lago}+A_{deque}=10,4\longrightarrow 4l+2,5l=6,5l=10,4\longrightarrow l=\frac{10,4}{6,5}\cong 1,6\].

A área do lago será $$A_{lago}=2,5\cdot 1,6=4m^{2}$$.

Resposta: d)

Questão

Uma mesa de passar roupa possui pernas articuladas AB e CD, conforme indica a figura.

Sabe-se que AB = CD = 1 m, e que M é ponto médio dos segmentos coplanares AB e CD. Quando a mesa está armada, o tampo fica paralelo ao plano do chão e a medida do ângulo AMC é 60º.

Considerando-se desprezíveis as medidas dos pés e da espessura do tampo e adotando $$\sqrt{3}=1,7$$, a altura do tampo dessa mesa armada em relação ao plano do chão, em centímetros, está entre

a)96 e 99.

b)84 e 87.

c)80 e 83.

d)92 e 95.

e)88 e 91

Solução:

A seguir, o triângulo DMB que se encontra nas pernas da tábua de passar. Este triângulo é Isósceles, pois DM=BM=0,5. Estes lados tem medida de 0,5, pois são metade dos lados AB e CD, respectivamente, dado que M é ponto médio dos dois lados.

A altura $$h$$, do triângulo equilátero, será metade da altura da mesa, pois o triângulo AMC também é Isósceles (congruente ao triângulo DBM).

Da figura, pode-se utilizar as relações trigonométricas do triângulo retângulo, uma vez que os triângulos MM’B e MM’D são retângulos em M’. Lembre-se de que a altura e a bissetriz do triângulo equilátero são a mesma coisa.

$$\frac{3}{2}=cos(30\,^{\circ})=\frac{h}{0,5}\longrightarrow h=0,5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{1,7}{4}= 0,425$$.

A altura da mesa será $$2\cdot 0,425= 0,85m=85cm$$.

Resposta: b)

Questão

Em um experimento com sete palitos de fósforo idênticos, seis foram acesos nas mesmas condições e ao mesmo tempo. A chama de cada palito foi apagada depois de t segundos e, em seguida, anotou-se o comprimento x, em centímetros, de madeira não chamuscada em cada palito. A figura a seguir indica os resultados do experimento.

Um modelo matemático consistente com todos os dados ob-tidos no experimento permite prever que o tempo, necessário e suficiente, para chamuscar totalmente um palito de fósforo idêntico aos que foram usados no experimento é de

a) 1 minuto e 2 segundos.

b) 1 minuto.

c) 1 minuto e 3 segundos.

d) 1 minuto e 1 segundo.

e) 1 minuto e 4 segundos.

Solução:

Um possível modelo matemático seria aquele que fornece duas funções em torno de um parâmetro $$k$$.

O tempo será dado por $$t_{k}=3k$$. O comprimento não chamuscado do fósforo será $$c_{k}=10,5-0,5k$$.

Em 3 segundos: $$t_{k}=3=3k\longrightarrow k =1$$, portanto $$c_{1}=10,5-0,5=10$$

Em 15 segundos: $$t_{k}=15=3k\longrightarrow k =5$$, portanto $$c_{5}=10,5-5\cdot 0,5=10,5-2,5=8$$

Caso do palito completamente consumido:

$$0=c_{k}=10,5-k\cdot 0,5\longrightarrow k=10,5/0,5=21$$.

$$t_{21}=3\cdot 21= 63$$seg = 1min + 3 segundos

Resposta: c)

 

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