Resolução – UNICAMP 2013 (1ª Fase) – Matemática (continuação 3)

Questões Anteriores

Questão

Sejam r, s e t as raízes do polinômio $$p(x)= x^{3}+ax^{2}+bx+(\frac{b}{a})^{3}$$, em que $$a$$ e $$b$$ são constantes reais não nulas. Se $$s^{2}=rt$$, então a soma de $$r+t$$ é igual a:

a) $$b/a + a$$.

b) $$-b/a – a$$.

c) $$b/a – a$$.

d) $$a – b/a$$.

 

Solução:

A solução vem por duas relações de Girard para polinômios cúbicos.

\[s+r+t=-\frac{a}{1}=-a\].

\[s\cdot r\cdot t = -\frac{(\frac{b}{a})^{3}}{1}=-(\frac{b}{a})^{3}\].

Na segunda equação, podemos substituir $$s^{2}=rt$$, tornando-se $$s^{3}=s\cdot s^{2}=-(\frac{b}{a})^{3}$$, ou seja, $$s = -\frac{b}{a}$$.

Substituindo este valor na primeira expressão:

\[-\frac{b}{a}+r+t=-a\Longrightarrow r+t=\frac{b}{a}-a\].

Resposta: c)


Questão

Loja iPlace

O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo.

 

Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por ܵ$$S(\varphi)$$ e ܶ$$T(\varphi)$$, podemos afirmar que a razão ܵ$$S(\varphi)/T(\varphi)$$, quando $$\varphi = \pi/2$$ radianos, é

a) 2π.

b) π.

c) π/4.

d) π/2.

Solução:


Questão

Chamamos de unidade imaginária e denotamos por ݅$$i$$ o número complexo tal que ݅$$i^{2}=-1$$. ଶ Então $$i^{0}+i+…+i^{2013}$$ vale:

a) $$0$$.
b) $$1$$.
c) $$1+i$$.
d) ݅$$i$$.

Solução:

Não precisamos aplicar a soma de uma progressão geométrica!

Basta observarmos duas coisas:

1) Na soma em questão, o fator $$i+i^{2}+i^{3}+i^{4}$$ ocorre diversas vezes. Por exemplo, $$i^{5}+i^{6}+i^{7}+i^{8}=i+i^{2}+i^{3}+i^{4}$$.

Como o último expoente é o 2013, basta fazermos a divisão inteira por 4, ou seja, $$2013:4 = 503\cdot 4 + 1$$. Assim, observamos que aquela soma ocorre 503 vezes.

Por outro lado, $$i+i^{2}+i^{3}+i^{4}=i-1-i+1=0$$. Ou seja,  \[i^{0}+i+…+i^{2013}=i^{0}+(i^{1}+i^{2}+…=i^{2012})+i^{2013}=i^{0}+ 503\cdot (i+i^{2}+i^{3}+i^{4})+i^{2013}=1+i^{2013}\].

2) Utilizando a mesma divisão inteira, podemos escrever $$i^{2013}=i^{503\cdot 4 + 1}=(i^{4})^{503}\cdot i = i$$.

Temos, portanto, a soma equivalente a $$1+i$$.

Resposta: c)

Comentários

Banner Gif 3 300x250
Banner 300 x 250
Loja iPlace