2ª Fase - Unicamp Matemática Unicamp

Resolução – UNICAMP 2015 (2ª Fase) – Matemática (continuação)

Questão 4

Seja ? a reta de equação cartesiana ? + 2? = 4. Para cada número real ? tal que 0 < ? < 4, considere o
triângulo ? de vértices em (0, 0), (?, 0) e no ponto ? de abscissa ? = ? pertencente à reta ?, como mostra a figura abaixo.

a) Para 0 < ? < 4, encontre a expressão para a função ?(?), definida pela área do triângulo ?, e esboce o
seu gráfico.
b) Seja ? um número real não nulo e considere a função ?(?) = ?/?, definida para todo número real ? não nulo. Determine o valor de ? para o qual o gráfico da função ? tem somente um ponto em comum com a reta ?.

Solução:

Questão 5

Seja (?, ?, ?, ?) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão ? ≠ 0 e ? ≠ 0.

a) Mostre que ? = −1/? é uma raiz do polinômio cúbico ?(?) = ? + ?? + ??² + ??³.

b) Sejam ? e ? números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis ? e ?, $$ \left(\begin{array}{rr} a&c\\d&b \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} x\\y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} e\\f \end{array}\right)$$. Determine para que valores da razão ? esse sistema tem solução única

Solução:

a) Como estão em progressão geométrica, podemos dispor os coeficientes do polinômio, do seguinte modo: $$a$$ , $$b=aq$$ , $$c=aq^{2}$$ e $$d=aq^{3}$$.

O polinômio pode ser escrito do seguinte modo:

\[a+bx+cx^{2}+dx^{3}=a+aqx+a(qx)^{2}+a(qx)^{3}\].

Substituindo $$x=-1/q$$, obtemos

\[P(-1/q)=a+aq(-1/q)+a(q(-1/q))^{2}+a(q(-1/q))^{3}=a-a+a-a=0\].

O que demonstra a afirmação.

b)

O sistema é reescrito para que apareça a razão ?.

\[ \left(\begin{array}{rr} a&c\\d&b \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} x\\y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} e\\f \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} a&aq^{2}\\aq^{3}&aq \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} x\\y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} e\\f \end{array}\right)\]

Para que este sistema tenha solução única (SPD), é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de 0. Calculemos o determinante.

\[\left|\begin{array}{rr} a&aq^{2}\\aq^{3}&aq \end{array}\right|= (a\cdot aq-(aq^{2}\cdot aq^{3})=a^{2}q-a^{2}q^{5}=a^{2}q(1-q^{4}) \].

O polinômio resultante do determinante será nulo apenas com $$q=0$$ ou $$1-q^{4}=0\longrightarrow q=\pm 1$$. Observe que não consideramos as raízes complexas, pois os coeficientes são reais.

Este sistema terá solução exceto para $$q=1$$ ou $$q=-1$$. Já sabemos que $$a\neq 0$$ e $$q\neq 0$$.

Questão 6

A figura abaixo exibe um círculo de raio ? que tangencia internamente um setor circular de raio ? e ângulo central ?.

a) Para ? = 60 , determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.

b) Determine o valor de cos ? no caso em que ? = 4?.

Solução:

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