Resolução – UNICAMP 2015 (2ª Fase) – Matemática (continuação)

Questão 4

Seja 𝑟 a reta de equação cartesiana 𝑥 + 2𝑦 = 4. Para cada número real 𝑡 tal que 0 < 𝑡 < 4, considere o
triângulo 𝑇 de vértices em (0, 0), (𝑡, 0) e no ponto 𝑃 de abscissa 𝑥 = 𝑡 pertencente à reta 𝑟, como mostra a figura abaixo.

a) Para 0 < 𝑡 < 4, encontre a expressão para a função 𝐴(𝑡), definida pela área do triângulo 𝑇, e esboce o
seu gráfico.
b) Seja 𝑘 um número real não nulo e considere a função 𝑔(𝑥) = 𝑘/𝑥, definida para todo número real 𝑥 não nulo. Determine o valor de 𝑘 para o qual o gráfico da função 𝑔 tem somente um ponto em comum com a reta 𝑟.

Solução:

Questão 5

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Seja (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão 𝑞 ≠ 0 e 𝑎 ≠ 0.

a) Mostre que 𝑥 = −1/𝑞 é uma raiz do polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥² + 𝑑𝑥³.

b) Sejam 𝑒 e 𝑓 números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis 𝑥 e 𝑦, $$ \left(\begin{array}{rr} a&c\\d&b \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} x\\y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} e\\f \end{array}\right)$$. Determine para que valores da razão 𝑞 esse sistema tem solução única

Solução:

a) Como estão em progressão geométrica, podemos dispor os coeficientes do polinômio, do seguinte modo: $$a$$ , $$b=aq$$ , $$c=aq^{2}$$ e $$d=aq^{3}$$.

O polinômio pode ser escrito do seguinte modo:

\[a+bx+cx^{2}+dx^{3}=a+aqx+a(qx)^{2}+a(qx)^{3}\].

Substituindo $$x=-1/q$$, obtemos

\[P(-1/q)=a+aq(-1/q)+a(q(-1/q))^{2}+a(q(-1/q))^{3}=a-a+a-a=0\].

O que demonstra a afirmação.

b)

O sistema é reescrito para que apareça a razão 𝑞.

\[ \left(\begin{array}{rr} a&c\\d&b \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} x\\y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} e\\f \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} a&aq^{2}\\aq^{3}&aq \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} x\\y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} e\\f \end{array}\right)\]

Para que este sistema tenha solução única (SPD), é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de 0. Calculemos o determinante.

\[\left|\begin{array}{rr} a&aq^{2}\\aq^{3}&aq \end{array}\right|= (a\cdot aq-(aq^{2}\cdot aq^{3})=a^{2}q-a^{2}q^{5}=a^{2}q(1-q^{4}) \].

O polinômio resultante do determinante será nulo apenas com $$q=0$$ ou $$1-q^{4}=0\longrightarrow q=\pm 1$$. Observe que não consideramos as raízes complexas, pois os coeficientes são reais.

Este sistema terá solução exceto para $$q=1$$ ou $$q=-1$$. Já sabemos que $$a\neq 0$$ e $$q\neq 0$$.

Questão 6

A figura abaixo exibe um círculo de raio 𝑟 que tangencia internamente um setor circular de raio 𝑅 e ângulo central 𝜃.

a) Para 𝜃 = 60 , determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.

b) Determine o valor de cos 𝜃 no caso em que 𝑅 = 4𝑟.

Solução:

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