Resolução – UNICAMP 2016 – 2ª Fase – Física

Questão 7

Recentemente, a sonda New Horizons tornou-se a primeira espaçonave a sobrevoar Plutão, proporcionando imagens espetaculares desse astro distante.
a) A sonda saiu da Terra em janeiro de 2006 e chegou a Plutão em julho de 2015. Considere que a sonda percorreu uma distância de 4,5 bilhões de quilômetros nesse percurso e que 1 ano é aproximadamente $$3\cdot 10^{7}\, s$$. Calcule a velocidade escalar média da sonda nesse percurso.
b) A sonda New Horizons foi lançada da Terra pelo veículo espacial Atlas V 511, a partir do Cabo Canaveral. O veículo, com massa total $$m = 6\cdot 10^{5}\, kg$$, foi o objeto mais rápido a ser lançado da Terra para o espaço até o momento. O trabalho realizado pela força resultante para levá-lo do repouso à sua velocidade máxima foi de $$\tau = 768\cdot 10^{11}\, J$$. Considerando que a massa total do veículo não variou durante o lançamento, calcule sua velocidade máxima.

Solução:

a) Aqui só precisamos utilizar a equação da velocidade média. O tempo é 9,5 anos, ou seja, $$\Delta t = 9,5\cdot 3\cdot 10^{7} \longrightarrow \Delta t = 28,5\cdot 10^{7}\, s$$  \[v = \frac{\Delta S}{\Delta t} \longrightarrow v = \frac{4,5\cdot 10^{12}}{28,5\cdot 10^{7}} \longrightarrow v = 15,8\cdot 10^{3}\, m/s\]

b) A energia utilizada nesse caso foi a cinética. Então basta utilizar sua equação. \[E_{c} = \frac{m\cdot v^{2}}{2} \longrightarrow 768\cdot 10^{11} = \frac{6\cdot 10^{5}\cdot v^{2}}{2} \longrightarrow v = 16000\, m/s\]

Questão 8

Plutão é considerado um planeta anão, com massa $$M_{P} = 1\cdot 10^{22}\, kg$$, bem  menor que a massa da Terra. O módulo da força gravitacional entre duas massas $$m_{1}$$ e $$m_{2}$$ é dado por $$F_{g} = G\frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$$, em que $$r$$ é a distância entre as massas e $$G$$ é a constante gravitacional. Em situações que envolvem distâncias astronômicas, a unidade de comprimento comumente utilizada é a Unidade Astronômica (UA).
a) Considere que, durante a sua aproximação a Plutão, a sonda se encontra em uma posição que está $$d_{P} = 0,15\, UA$$ distante do centro de Plutão e $$d_{T} = 30\, UA$$ distante do centro da Terra. Calcule a razão ($$\frac{F_{gT}}{F_{gP}}$$) entre o módulo da força gravitacional com que a Terra atrai a sonda e o módulo da força gravitacional com que Plutão atrai a sonda. Caso necessário, use a massa da Terra $$M_{T} = 6\cdot 10^{24}\, kg$$.
b) Suponha que a sonda New Horizons estabeleça uma órbita circular com velocidade escalar orbital constante em torno de Plutão com um raio de $$r_{P} = 1\cdot 10^{-4}\, UA$$. Obtenha o módulo da velocidade orbital nesse caso. Se necessário, use a constante gravitacional $$G = 6\cdot 10^{-11}\, N.m^{2} /kg^{2}$$. Caso necessário, use 1 UA (Unidade astronômica) = $$1,5\cdot 10^{8}\, km$$.

Solução:

a) Precisamos calcular as duas forças e depois dividi-las. \[F_{gT} = G\frac{M_{T} m_{s}}{d_{T} ^{2}}\]

\[F_{gP} = G\frac{M_{P} m_{s}}{d_{P} ^{2}}\]

\[\frac{F_{gT}}{F_{gP}} = G\frac{M_{T} m_{s}}{d_{T} ^{2}}\cdot \frac{d_{P} ^{2}}{GM_{P} m_{s}} \longrightarrow \frac{F_{gT}}{F_{gP}} = \frac{6\cdot 10^{24}}{30 ^{2}}\cdot \frac{0,15 ^{2}}{1\cdot 10^{22}} \longrightarrow \frac{F_{gT}}{F_{gP}} = 0,015\]

b) Para calcular a velocidade orbital, podemos utilizar a seguinte equação: $$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$. Temos que $$G = 6\cdot 10^{−11}\, N.m^{2} /kg^{2}$$, $$M_{P} = 1\cdot 10^{22}\, kg$$ e $$r_{P} = 1\cdot 10^{−4}\, UA$$. Portanto \[v = \sqrt{\frac{6\cdot 10^{−11}\cdot 1\cdot 10^{22}}{1\cdot 10^{−4}}} \longrightarrow v = 200\, m/s\]

Questão 9

Os reguladores de pressão são acessórios de segurança fundamentais para reduzir a pressão de gases no interior dos cilindros até que se atinja sua pressão de utilização. Cada tipo de gás possui um regulador específico.
a) Tipicamente, gases podem ser armazenados em cilindros a uma pressão interna de $$P_{0} = 2,0\cdot 10^{7}\, Pa$$ e ser utilizados com uma pressão de saída do regulador de $$P_{1} = 1,6\cdot 10^{7}\, Pa$$. Considere um gás ideal mantido em recipiente fechado a uma temperatura inicial de $$T_{0} = 300\, K$$. Calcule a temperatura final $$T_{1}$$ do gás se ele for submetido isovolumetricamente à variação de pressão dada acima.
b) Quando os gases saem dos reguladores para o circuito de utilização, é comum que o fluxo do gás (definido como sendo o volume do gás que atravessa a tubulação por unidade de tempo) seja monitorado através de um instrumento denominado fluxômetro. Considere um tanque cilíndrico com a área da base igual a $$A = 2,0\, m^{2}$$ que se encontra inicialmente vazio e que será preenchido com gás nitrogênio. Durante o preenchimento, o fluxo de gás que entra no tanque é medido pela posição da esfera sólida preta do fluxômetro, como ilustra a figura abaixo. A escala do fluxômetro é dada em litros/minuto. A medida do fluxo de nitrogênio e sua densidade $$d = 1,0\, kg/m^{3}$$ permaneceram constantes durante todo o processo de preenchimento, que durou um intervalo de tempo $$\Delta t = 12\, h$$. Após este intervalo de tempo, a válvula do tanque é fechada com certa quantidade de gás nitrogênio em repouso no seu interior. Calcule a pressão exercida pelo gás na base do tanque. Caso necessário, use $$g = 10\, m/s^{2}$$.

Solução:

a) Aqui temos uma situação inicial do gás dentro do cilindro em que $$P_{0} = 2\cdot 10^{7}\, Pa$$, $$T_{0} = 300\, K$$ e $$V_{0}$$.

A situação do gás, fora do cilindro, nos dá $$P_{1} = 1,6\cdot 10^{7}\, Pa$$, $$V_{1}$$ e queremos saber $$T_{1}$$.

Como temos uma transformação isométrica, $$V_{0} = V_{1}$$.

\[\frac{P_{0}\cdot V_{0}}{T_{0}} = \frac{P_{1}\cdot V_{1}}{T_{1}} \longrightarrow \frac{2\cdot 10^{7}}{300} = \frac{1,6\cdot 10^{7}}{T_{1}} \longrightarrow T_{1} = 240\, K\]

b) Na figura vemos que o fluxo é $$\phi = 25\, l/min$$. Como a válvula do tanque ficou aberta por 12 h, podemos calcular o volume de gás.

25 l ———- 1 min

V ———- $$60\cdot 12\, min$$

V = 18000 l = 18 m³

Através da densidade, podemos calcular a massa de gás. \[d = \frac{m}{V} \longrightarrow 1 = \frac{m}{18} \longrightarrow m = 18\, kg\] Com isso podemos calcular a pressão que o gás exerce no fundo do cilindro. \[P = \frac{F}{A} \longrightarrow P = \frac{m\cdot g}{A} \longrightarrow P = \frac{18\cdot 10}{2} \longrightarrow P = 90\, Pa\]

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