Resolução – UNICAMP 2016 (2ª Fase) – Matemática

Questão 7

O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição da idade de um grupo de pessoas.

a) Mostre que, nesse grupo, a média de idade dos homens é igual à média de idade das mulheres.

b) Escolhendo ao acaso um homem e uma mulher desse grupo, determine a probabilidade de que a soma de suas idades seja igual a 49 anos.
Solução: a) Calculemos as médias ponderadas das idades de homens e mulheres. Observando no gráfico, sabemos o número de homens e mulheres em cada idade indicada.

21 anos – (5 mulheres , 4 homens)

22 anos – (2 mulheres, 5 homens)

23 anos – (3 mulheres, 4 homens)

24 anos – (3 mulheres, 1 homem)

25 anos – (1 mulher, 2 homens)

Total – (14 mulheres, 16 homens)

\[M_{mulheres}=\frac{5\cdot 21 + 2\cdot 22 + 3\cdot 23 + 3\cdot 24+1\cdot 25}{14}=22,5\]

\[M_{homens}=\frac{4\cdot 21 + 5\cdot 22 + 4\cdot 23 + 1\cdot 24+2\cdot 25}{16}=22,5\]

b)

Há 14 mulheres e 16 homens, portanto é possível obter $$14\cdot 16 = 224$$duplas de mulheres e homens, para o cálculo da soma de suas idades.

Dentre estas duplas todas, as que somam 49 anos são da forma (mulher de 25 + homem de 24) ou (homem de 25 + mulher de 24).

Para o primeiro caso, há $$3\cdot 2 = 6$$ possibilidades. Para o segundo, há $$1\cdot 1 =1$$ possibilidade, perfazendo 7 possibilidades.

\[p=\frac{7}{224}=\frac{1}{32}\]

Questão 8

Considere a função $$f(x)=|2x-4|+x-5$$, definida para todo número real $$x$$.

a) Esboce o gráfico de $$=f(x)$$ no plano cartesiano para $$-4\geq x\geq 4$$.

b) Determine os valores dos números reais $$a$$ e $$b$$ para os quais a equação $$log_{a}(x+b)=f(x)$$ admite as soluções $$x_{1}=-1$$ e $$x_{2}=6$$.

Solução:

a)

b)

\[log_{a}(b-1)=|2\cdot (-1)-4|+x-5=|-6|-1-5=0\longrightarrow b-1=1=a^{0}\longrightarrow b=2\].

\[log_{a}(6+b)=|2\cdot 6 – 4|+6-5=8+1=9\longrightarrow 6+b=8=a^{9}\longrightarrow a=2^{3/9}=2^{1/3}\].

Questão 9

Considere o triângulo exibido na figura abaixo, com lados de comprimentos a,b e c e os ângulos α, β e γ.

a)   Suponha que a sequência (α, β ,γ)  é uma progressão aritmética (PA). Determine a medida do ângulo β.

b) Suponha  que  a  sequência (a,b,c) é  uma  progressão  geométrica  (PG)  de  razão $$q=\sqrt{2}$$.  Determine o valor de tan(β).

Solução:

Comentários

300x250-livros