Matemática Unicamp

Resolução – UNICAMP 2018 (1ª Fase) – Matemática (continuação 5)

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Questão

Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥), obtêm-se quociente e resto iguais a 𝑥² + 1. Nessas condições, é correto afirmar que

a) o grau de 𝑝(𝑥) é menor que 5.
b) o grau de 𝑞(𝑥) é menor que 3.
c) 𝑝(𝑥) tem raízes complexas.
d) 𝑞(𝑥) tem raízes reais.

Solução:

Escreveremos a divisão pelo algoritmo de Euclides no corpo dos polinômios com coeficientes reais. Observe:

\[p(x)=q(x)\cdot (x^{2}+1)+(x^{2}+1)=(x^{2}+1)\cdot (q(x)+1)\].

O grau de 𝑝(𝑥) é, no mínimo, igual a 2. Não podemos afirmar nada além disso, pois não conhecemos o grau de 𝑞(𝑥). Por esta razão, descartamos (a) e (b). Ainda mais: não sabemos qualquer coisa de 𝑞(𝑥), portanto não podemos dizer se 𝑞(𝑥) tem raízes reais. Descartamos (d).

A única opção válida é (c), pois 𝑝(𝑥) terá duas raízes complexas conjugadas, que são as mesmas raízes de (𝑥² + 1).

Resposta: c)


Questão

Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos. Se o número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏i é uma raiz da equação quadrática
𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0, então

a) |𝑧| = 1/√3.
b) |𝑧| = 1/√5.
c) |𝑧| = √3.
d) |𝑧| = √5.

Solução:

Por Bhaskara, podemos igualar uma das raízes da equação ao número 𝑧.

\[x=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4a}}{2}=a+bi\].

Para isto, precisaremos fazer as igualdades:

i. $$-b/2 = a$$;

ii. $$\sqrt{b^{2}-4a}/2 = bi$$.

Da primeira, obtemos $$b=-2a$$. Substituindo na segunda e elevando ao quadrado, obtemos:

\[(\sqrt{4a^{2}-4a})^{2}=(-4ai)^{2}\Longrightarrow 4a^{2}-4a=-16a^{2}\Longrightarrow 20a^{2}-4a=0\Longrightarrow 5a^{2}-a=0\].

As soluções são $$a=0$$ ou $$a=1/5$$.

Evidentemente, só tomaremos a segunda solução. Deste modo, $$z=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$.

O módulo deste número é $$|z|=\sqrt{(\frac{1}{5})^{2}+(-\frac{2}{5})^{2}}=\sqrt{\frac{5}{25}}=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$.

Resposta: b)


 

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