1ª Fase - Unicamp Matemática Unicamp

Resolução – UNICAMP 2018 (1ª Fase) – Matemática (continuação 5)

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Questão

Sejam ?(?) e ?(?) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se ?(?) por ?(?), obtêm-se quociente e resto iguais a ?² + 1. Nessas condições, é correto afirmar que

a) o grau de ?(?) é menor que 5.
b) o grau de ?(?) é menor que 3.
c) ?(?) tem raízes complexas.
d) ?(?) tem raízes reais.

Solução:

Escreveremos a divisão pelo algoritmo de Euclides no corpo dos polinômios com coeficientes reais. Observe:

\[p(x)=q(x)\cdot (x^{2}+1)+(x^{2}+1)=(x^{2}+1)\cdot (q(x)+1)\].

O grau de ?(?) é, no mínimo, igual a 2. Não podemos afirmar nada além disso, pois não conhecemos o grau de ?(?). Por esta razão, descartamos (a) e (b). Ainda mais: não sabemos qualquer coisa de ?(?), portanto não podemos dizer se ?(?) tem raízes reais. Descartamos (d).

A única opção válida é (c), pois ?(?) terá duas raízes complexas conjugadas, que são as mesmas raízes de (?² + 1).

Resposta: c)


Questão

Sejam ? e ? números reais não nulos. Se o número complexo ? = ? + ?i é uma raiz da equação quadrática
?² + ?? + ? = 0, então

a) |?| = 1/√3.
b) |?| = 1/√5.
c) |?| = √3.
d) |?| = √5.

Solução:

Por Bhaskara, podemos igualar uma das raízes da equação ao número ?.

\[x=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4a}}{2}=a+bi\].

Para isto, precisaremos fazer as igualdades:

i. $$-b/2 = a$$;

ii. $$\sqrt{b^{2}-4a}/2 = bi$$.

Da primeira, obtemos $$b=-2a$$. Substituindo na segunda e elevando ao quadrado, obtemos:

\[(\sqrt{4a^{2}-4a})^{2}=(-4ai)^{2}\Longrightarrow 4a^{2}-4a=-16a^{2}\Longrightarrow 20a^{2}-4a=0\Longrightarrow 5a^{2}-a=0\].

As soluções são $$a=0$$ ou $$a=1/5$$.

Evidentemente, só tomaremos a segunda solução. Deste modo, $$z=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$.

O módulo deste número é $$|z|=\sqrt{(\frac{1}{5})^{2}+(-\frac{2}{5})^{2}}=\sqrt{\frac{5}{25}}=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$.

Resposta: b)


 

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Plenus