2ª Fase - Unicamp Matemática Unicamp

Resolução – UNICAMP 2018 – 2ª Fase – Q 14 (Matemática)

Questão

Sendo 𝑐 um número real, considere a função afim 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝑐, definida para todo número real 𝑥.
a) Encontre todas as soluções da equação [𝑓(𝑥)]³  = 𝑓(𝑥³), para 𝑐 = 1.

b) Determine todos os valores de 𝑐 para os quais a função 𝑔(𝑥) = log(𝑥𝑓(𝑥) + 𝑐) esteja definida para todo
número real 𝑥.

Solução:

a) Fazendo $$(2x+1)^{3}=2x^{3}+1$$, obtemos $$6x(x^{2}+2x+1)=0$$. Pondo $$x=0$$, teremos uma solução para a equação. A outra virá por Bhaskara na equação de dentro dos parênteses.

\[x=\frac{-2\pm\sqrt{4-4}}{2}=\frac{-2}{2}=-1\].

Os valores são $$x=0$$ ou $$x=-1$$.

b)  Utilizando a condição de existência do logaritmo a qual nos impõe o logaritmando não nulo, temos $$x(2x+c)+c\neq 0 \Longrightarrow 2x^{2}+cx+x\neq 0$$.

A fim de que esta equação não tenha solução real para todo $$x$$, teremos de indicar os valores de $$c$$ para os quais a raiz quadrada não existe, ou seja, para que o o radicando seja inferior a 0.

\[c^{2}-8c<0\].

Esta parábola possui concavidade voltada para cima. Suas raízes são $$c=0$$ e $$c=8$$. Portanto o intervalo de $$c$$ em que a inequação é negativa só pode ser $$0<c<8$$. Este intervalo garante que o logaritmo exista para todo $$x$$.

 

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Plenus