Sejam A e B matrizes 2 x 2 tais que AB = BA e que satisfazem a equação matricial A² + 2AB – B = 0.
Se B é inversível, mostre que (a) AB-1 = B-1A e que (b) A é inversível.
Solução:
a) Como B tem inversa, temos, ao multiplicar por B-1 à direita, que $$AB=BA$$ implica $$A=ABB^{-1}=BAB$$. Agora, multiplicando por B à esquerda, teremos $$B^{-1}A = B^{-1}BAB^{-1} = AB^{-1}$$, que resulta em $$B^{-1}A = AB^{-1}$$.
b) A equação matricial, se multiplicada por B-1 à esquerda, fornece
\[A^{2}B^{-1}+2ABB^{-1}-BB^{-1}=0\Longrightarrow\]
\[A(AB^{-1}+2I) = A^{2}B^{-1}+2A=I.\]
Aplicando-se o determinante em ambos os lados, obtemos
\[det(A)\cdot det(AB^{-1}+2I)=det (I) = n.\]
Como $$n\neq 0$$, uma vez se tratar do determinante da matriz identidade de ordem n, o produto de determinantes precisa ser diferente de zero. Em particular, $$det(A)\neq 0$$, o que prova a inversibilidade da matriz A.
