Seja $$Gr$$ o conjunto de todos os grupos, e seja $$A=hom(G,H)$$ o conjunto de todos os homomorfismos existentes entre quaisquer grupos $$G$$ e $$H$$ em $$Gr$$.
O par $$Grp =(Gr,A)$$ é a categoria cujos elementos são os grupos e os morfismos são os homomorfismos de grupo.
Demonstração:
1) Define-se o conjunto $$A\times_{\circ} A=\{(f,g)| dom(g)=cod(f)\}$$.
A operação composição será tomada como a composição usual de funções e será assim definida:
\[\Box: A\times_{\circ} A\longrightarrow A \]
\[ \Box(f,g)= g\circ f.\]
A seta $$\Box$$ está bem-definida, isto é, trata-se de uma função.
Com efeito, dado que $$dom(g)=cod(f)$$, é claro que $$Box(f,g) = g\circ f$$ é um homomorfismo de grupos, logo sempre haverá um representante do par $$(f,g)$$ em $$A$$. Ademais, se $$f’=f$$ e $$g’=g$$, é fato que $$(g’\circ f’)=(g\circ f)$$, ou seja, $$Box(f,g)=\Box(f’,g’)$$.
(Associtatividade de $$\Box$$)
A associatividade de $$\circ$$ garante a propriedade para $$\Box$$.
Sejam $$h,g,f \in A$$ tais que $$cod(f)=dom(g)$$ e $$cod(g)=dom(h)$$.
\[\Box(f,\Box(g,h)) = \Box (f,(h\circ g)) = (h\circ g)\circ f =\]\[ h\circ (g\circ f) = \Box(h\circ g)\Box(f) = h\circ (g\circ f)=\Box ((g\circ f),h)=\]\[\Box(\Box(f,g),h).\]
Adotando-se a notação usual $$\Box(f,g)=g\Box f$$, conclui-se que $$(h\Box g)\Box f = h\Box (g\Box f)$$.
2) Define-se uma relação:
\[Id: Gr\longrightarrow A\]
\[G\mapsto Id_{G}.\]
O símbolo $$Id_{G}$$ representa o homomorfismo identidade do grupo $$G$$.
A relação $$Id$$ está bem-definida.
De fato, dado um grupo $$G$$, sempre haverá um homomorfismo identidade $$Id_{G}$$ que associa $$x\mapsto x$$, para todo $$x\in G$$. Ademais, se $$G=G’$$, é óbvio que $$Id_{G}=Id_{G’}$$.
