Um trinômio quadrado perfeito é uma expressão algébrica especial composta por três termos. A expressão é gerada a partir de um binômio elevado ao quadrado: (a+b)². Neste caso, para expandir a expressão, temos de realizar a multiplicação distributiva entre os dois termos. Note que
\[(a+b)^{2} = (a+b)\cdot (a+b) = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = \]
\[a^{2}+ab+ba+b^{2}.\]
Dado que $$ab=ba$$, ao reduzirmos os termos semelhantes, obtemos $$a^{2}+2ab+b^{2}$$. O autêntico trinômio quadrado perfeito: dois termos quadráticos e um termo central que corresponde ao produto dos outros dois pelo número 2.
Se o binômio inicial for (a-b), teremos o trinômio com uma mudança sinal:
\[(a-b)^{2} = (a-b)\cdot (a-b) = a\cdot a – a\cdot b – b\cdot a – b\cdot (-b) = \]
\[a^{2}-ab-ba+b^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}.\]
Desse modo, identificamos um trinômio quadrado perfeito por seus termos, já que sempre terá dois termos positivos elevados ao quadrado e um termo, positivo ou negativo, que é resultado da multiplicação dos outros termos pelo número dois.
Exemplos de Trinômios
Exemplo 1: Qual é a expansão de (x+1)²?
Resposta: A soma de cada termo ao quadrado é x² + 1² ; o termo central é a multiplicação $$2\cdot 1\cdot x = 2x$$. O resultado é x² + 2x+1.
Exemplo 2: Qual é a expansão de (2x+1)²?
Resposta: O primeiro termo ao quadrado é (2x)² = 2²x² = 4x². O segundo termo ao quadro é 1²=1; o termo misto é resultado da multiplicação $$2x\cdot 2\cdot 1 = 4x$$. O resultado é 4x² + 4x+1.
Exemplo 3: Qual é a expansão de (x+11)²?
Resposta no vídeo: LINK
Exemplo 4: Qual é a expansão de (x-7)²?
Resposta: O primeiro termo é x²; o segundo termo é 7² =49; o termo misto é $$2\cdot x\cdot (-7) = -14x$$.
O resultado é x²-14x+49.
Exemplo 5: Qual a expansão de (x-9)²?
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Como fatorar um trinômio quadrado perfeito?
A tarefa inversa é fatorar um trinômio a partir de sua expansão. O caminho a seguir é identificar os termos quadrados e o termo misto.
Exemplo 6: Qual é a fatoração de x²+12x + 36?
Resposta: os termos ao quadrado são $$x$$ e $$6$$. Então, pela fórmula apresentada, temos $$a=\sqrt{x^{2}}=x$$ e $$b=\sqrt{36}=6$$. Como o sinal é positivo, nosso trinômio é, portanto, igual a (x+6)².
Exemplo 7: Qual a fatoração de 4x²+4x+1?
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Exemplo 8: Qual é a fatoração de 2x² + (2√2)x + 1?
Resposta: os termos ao quadrado são $$a=\sqrt{2x^{2}}=2\sqrt{2}$$ e $$b=\sqrt{1}=1$$; o termo misto tem sinal positivo, então o resultado é (x√2+1)².
Mas note que nem todo trinômio é quadrado perfeito!!!
Exemplo 9: O trinômio x² – x + 1 é quadrado perfeito?
Resposta: Não temos um trinômio quadrado perfeito neste caso. Ou teríamos (x-1)² = x²-2x+1 , ou teríamos (x-1/2)² = x² – x + 0,25.
Exemplo 10: O trinômio x²+2x+2 é quadrado perfeito?
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