Questão Seja $$\{u_{1},…,u_{n}\}\subset E$$ uma base ortonormal. Prove que, para $$v,w\in E$$ arbitrários, tem-se $$<v,w>=\sum^{n}_{i=1}<v,u_{i}>\cdot <w,u_{i}>$$. Lista de Exercícios Resolvidos sobre Produtos Internos. Solução: Escreve-se...
Considere U , V e W espaços vetoriais de dimensão finita. Sejam T : U → V e P : V → W transformações Lineares....
Seja $$X: V\longrightarrow W$$ uma transformação linear tal que $$Xv\neq 0$$, para todo $$v\neq 0$$ em $$V$$. Prove que, se $$A,B\in\mathcal{L}(V;W)$$ cumprem $$XA=XB$$, então $$A=B$$....
Em $$E=\mathbb{R}^{2}$$, mantenhamos a definição do produto $$\alpha v$$ de um número por um vetor, mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma...
Seja $$V$$ um espaço vetorial, e seja $$\varphi$$ um funcional linear de $$V^{*}$$. Se $$v_{0}\notin ker{\varphi}$$, prove que $$V=ker(\varphi) + span \{v_{0}\}$$. Em outras palavras,...
Usando os axiomas de Espaços Vetoriais, provamos a propriedade.
Seja $$\varphi$$ um operador linear, sobre o espaço vetorial $$V$$, tal que $$\varphi^{2}=I_{d}$$ (identidade). Mostre que $$V=U\oplus W$$,com $$U=\{v\in V;\varphi(v)=v\}$$, e $$W=\{v\in V;\varphi(v)=-v\}$$. Solução: $$U$$...
Seja $$A\in M(\mathbb{F})_{m\times n}$$. a) Dada a matriz coluna $$(e_{j})_{n\times 1}= \left[\begin{array}{c} 0\\.\\1\\.\\ 0 \end{array}\right] $$, com $$e_{j1}=1$$ e $$e_{k1}=0$$, para $$k\neq j$$. Prove que...
Demonstração de uma consequência imediata dos axiomas de espaço vetorial.
Dadas as funções lineares $$A, B: E\longrightarrow F$$, prove as afirmações a seguir. a) $$(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$$. b) $$(A^{*})^{*} = A$$. Solução: a) $$<ABx,y>=<x,...
Seja $$V$$ um espaço vetorial com os subespaços $$V_{1},V_{2}$$ e $$U$$. Se $$U\oplus V_{1} = U\oplus V_{2}$$, então $$V_{1}=V_{2}$$ ? Contraexemplo:
Alguns resultados de Autovalores e Autovetores Exercício 1 Demonstre a equivalência das afirmações a seguir i) $$(\lambda , v)$$, com $$v\neq 0$$, é autopar da...
