Descreva o resultado do produto matricial $$e^{t}_{j}P$$, para $$j\in\{1,..,n\}$$.

Solução:

Desenvolvendo-se o produto, tem-se

\[e^{T}_{j}P=e^{T}_{j}(I-(e_{r}-e_{s})(e_{r}-e_{s})^{T})=e^{T}_{j}-e^{T}_{j}(e_{r}-e_{s})(e_{r}-e_{s})^{T} =\]

\[\; e^{T}_{j}-e^{T}_{j}(e_{r}-e_{s})(e_{r}-e_{s})^{T}(\ast) \]

i) Se $$j\neq r $$ e $$j\neq s$$,  $$e^{T}_{j}(e_{r}-e_{s}) = e^{T}_{j}e_{r}-e^{T}_{j}e_{s}=0+0=0$$.

Daqui,

\[(\ast) = e^{T}_{j}-0(e_{r}-e_{s})^{T} = e^{T}_{j}.\]

ii) Se $$j=r$$, $$e^{T}_{r}(e_{r}-e_{s}) = e^{T}_{r}e_{r}-e^{T}_{r}e_{s}=1-0=1$$.

Daqui,

\[(\ast) = e^{T}_{r}-1(e_{r}-e_{s})^{T} = e^{T}_{r}-e^{T}_{r}+e^{T}_{s}=e^{T}_{s}.\]

iii) Se $$j=s$$, $$e^{T}_{s}(e_{r}-e_{s}) = e^{T}_{s}e_{r}-e^{T}_{s}e_{s}=0-1=-1$$.

Daqui,

\[(\ast) = e^{T}_{s}-(-1)(e_{r}-e_{s})^{T} = e^{T}_{s}+e^{T}_{r}-e^{T}_{s}=e^{T}_{r}.\]

O post Álgebra Linear – Matrizes Elementares – Exercício 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Definição

\[cond_{p}(A)=||A||_{p}\cdot||A^{-1}||_{p}\].

Assumindo que $$A_{n\times n}$$ é invertível.

Exercício

Dadas as matrizes invertíveis $$A$$ e $$B$$ em $$\mathbb{M}_{n\times n}$$, demonstre as propriedades a seguir do número de condição da matriz na norma -p.

a) $$cond(A)\geq 1$$.

b) $$cond(\alpha\cdot A)=cond(A)$$, para $$\alpha\in\mathbb{R}$$.

c) $$cond(AB)\leq cond(A)\cdot cond(B)$$.

d) $$cond(A)\geq \frac{||a_{r}||_{p}}{||a_{s}||_{p}}$$, para quaisquer colunas $$a_{r}$$ e $$a_{s}$$ da matriz $$A$$.

Solução:

a) Da propriedade da norma p (link), $$1=||I_{n}||_{p}=||AA^{-1}||_{p}\leq ||A||_{p}||||A^{-1}||_{p}$$.

b) Nota-se que $$(\alpha A)^{-1}=\frac{1}{\alpha}A^{-1}$$. Além disso, $$||\beta A||_{p}=\underset{||x||_{p}\neq 0}{sup}\frac{||(\beta A)x||_{p}}{||x||_{p}}=\beta\cdot \underset{||x||_{p}\neq 0}{sup}\frac{||Ax||_{p}}{||x||_{p}}=\beta\cdot ||A||_{p}$$, para $$\beta\in\mathbb{R}$$. Daqui, prossegue a demonstração:

\[cond(\alpha A)=||(\alpha A)||_{p}\cdot ||(\alpha A)^{-1}||_{p}=\alpha\cdot\frac{1}{\alpha}\cdot ||A||_{p}\cdot ||A^{-1}||_{p}=||A||_{p}\cdot ||A^{-1}||_{p}=cond(A)\].

c) $$cond(AB)=||AB||_{p}\cdot ||B^{-1}A^{1}||_{p}\leq ||A||_{p}||B||_{p}||B^{-1}||_{p}||B||_{p}=||A||_{p}||A^{-1}||_{p}||B||_{p}||B^{-1}||_{p}=cond(A)\cdot cond(B)$$.

d) Nota-se que $$Ae^{j}=A_{j}$$, onde $$A_{j}$$ representa a coluna (j) da matriz $$A$$.

Daqui e da desigualdade da norma p, $$||Ae_{r}||_{p}\leq||A||_{p}\cdot ||e_{r}|| = ||A||_{p}$$.

Por outro lado, $$1 = ||e_{s}||=||A^{1}Ae_{s}||_{p}\leq ||A^{-1}||_{p}\cdot ||Ae_{s}||_{p}=||A^{-1}||||A_{s}||_{p}$$, ou seja, $$\frac{1}{||A_{s}}||_{p}\leq ||A^{-1}||_{p}$$.

Daqui, $$cond(A)=||A||_{p}\cdot ||A^{-1}||_{p}\geq \frac{||A_{r}||_{p} }{||A_{s}||_{p}}$$.

O post Álgebra Linear – Norma de Matriz – Exercício 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Propriedade: Seja $$C=(vw^{T})$$, com $$v_{n\times 1}$$ e $$w_{n\times 1}$$. É verdade que $$C^{k}=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})$$.

Demonstração: Provaremos para $$k=2$$, inicialmente.

$$C^{2}=(vw^{T})(vw^{T})$$. Este é um produto matricial. Mas há uma propriedade que permite comutar o centro deste produto exterior:

\[(vw^{T})(vw^{T}) = v(w^{T}v)w^{T}=(w^{T}v)(vw^{T})\].

O primeiro termo da expressão é o produto interno entre os dois vetores; é permitido comutar o produto exterior, dado que este valor é real (ou, analogamente, complexo).

Por hipótese de indução assumimos que $$C^{k}=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})$$.

\[C^{k+1}=C^{k}\times (vw^{T})=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})(vw^{T})=(w^{T}v)^{k-1}v(w^{T}v)w^{T}=(w^{T}v)^{k}(vw^{T})\].

Demonstramos que a propriedade é válida para $$C^{k+1}$$, dado que a propriedade é válida para $$C^{k}$$.

Algoritmo Computacional (produto matricial)

//produto interno
s=0;
for i=1:n
    s=s+v(i)*w(i)
end

p=s^{k-1};

for i=1:n
    for j=1:n
        
         //D = C^k
        //cada elemento é vi*wj*produto escalar à potência (k-1)
        D(i,j)=p*v(i)*w(j)
        
        end
end

Na página anterior, vimos que $$Cb=<w,b>\cdot v$$, para o caso $$C=vw^{T}$$, $$v_{m\times n}$$ e $$w,b_{n\times 1}$$.

Com a propriedade demonstrada nesta página, temos:

\[C^{k}b=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})b=(w^{T}v)^{k-1}\cdot<w,b>\cdot v\].

O produto da potência da matriz com o vetor $$b_{n\times 1}$$ pode ser reduzido à multiplicação de dois produtos escalares a um vetor.

Algoritmo computacional

//produtos internos
r=s=0;

for i=1:n
    s=s+v(i)*w(i)
    r=r+w(i)*b(i)
end

p=s^{k-1};

for i=1:n
z = r*p*v(i);
end

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Dados os vetores $$v_{m\times 1}$$ e $$w_{n\times 1}$$, define-se a matriz a seguir, a partir do produto exterior:

\[C=vw^{T}\].

Propriedades de $$C$$

1. As colunas de $$C$$ são combinações lineares de $$v$$, com os escalares iguais às entradas de $$w$$.
2. As linhas de $$C$$ são combinações lineares de $$w$$ com os escalares iguais às entradas de $$v$$.
3. O posto de $$C$$ é igual a 1.

De fato, $$C_{ij}=v_{i}w_{j}$$. A linha (i) da matriz é dada pela expressão $$C^{i}=(v_{i}w_{1},…,v_{i}w_{n}) = v_{i}(w_{1},…,w_{n})=v_{i}\cdot w^{T}$$.

Observamos também que a coluna (j) tem a expressão $$C_{j}= (v_{1}w_{j},…,v_{m}w_{j})=w_{j}\cdot (v_{1},…,v_{m})=w_{j}v$$.

O conjunto gerado pelas combinações lineares das colunas de $$C$$ é idêntico ao conjunto gerado pelos múltiplos escalares do vetor $$v$$. Com efeito, seja $$u=a_{1}C_{1}+..a_{n}C_{n}=a_{1}w_{1}v+…a_{n}w_{n}v=(a_{1}w_{1}+…+a_{n}w_{n})v$$. Deste modo, $$span\{C_{1},..,C_{n}\}= span \{v\}$$

Por hipótese, a dimensão de $$span\{v\}$$ é igual a 1, portanto $$span\{C_{1},..,C_{n}\}$$ tem dimensão igual a 1.

Produto matriz por vetor

Dado um vetor $$b_{m\times 1}$$, o produto entre a matriz $$C$$ e o vetor $$b$$ pode ser realizado por colunas, de modo que o novo vetor será a combinação linear das colunas de $$C$$, com os escalares de $$b$$.

\[Cb=[C_{1}|…|C_{n}]\cdot (b_{1},..,b_{n})= b_{1}C_{1}+…+b_{n}C_{n}=b_{1}w_{1}v+…b_{n}w_{n}v= <w,b>\cdot v\].

Algoritmo computacional

//operação produto interno <w,b>=soma
soma = 0;
for k=1:n
    soma = soma + b(k)*w(k);
    
end

// operação z = <w,b>v
for k=1:m
    z(j)=soma*v(j);
end

Produto $$z=(I-C)\cdot b$$, com $$I_{n\times n}$$ e $$C_{n\times n}$$.

Aplicamos a esta expressão o fato de que $$Cb=<b,w>v$$. Deste modo, temos:

\[(I-C)\cdot b=Ib-Cb=b-<b;w>v\].

O algoritmo será implementado, adicionando cada coordenada de $$b$$ à expressão obtida no algoritmo anterior.

Algoritmo computacional

//operação produto interno <w,b>=soma
soma = 0;
for k=1:n
    soma = soma + b(k)*w(k);
    
end

// operação z = <w,b>v
for k=1:m
    z(j)=b(j)-soma*v(j);
end

O post Álgebra Linear Computacional – Matriz de Posto 1 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[c_{ij}=\sum^{p}_{k=1}a_{ik}b_{kj}\].

Equivalência 1: A i-ésima linha da matriz $$C$$ corresponde à combinação linear das linhas de $$B$$, com os coeficientes da i-ésima linha de $$A$$.

De fato, os elementos da i-ésima linha de $$C$$ são da forma:

\[[c_{i1},…,c_{ip}]=[(a_{i1}b_{11}+…+a_{ip}b_{p1}), (a_{i1}b_{12}+…+a_{ip}b_{p2}),…,(a_{i1}b_{1n}+…+a_{ip}b_{pn})]  = \]

\[[a_{i1}b_{11},…,a_{i1}b_{1n}]+[a_{i2}b_{21},…,a_{i2}b_{22}]+…+[a_{ip}b_{p1},…,a_{ip}b_{pn}]=\]

\[a_{i1}\cdot [b_{11},…,b_{1n}]+a_{i2}\cdot[b_{21},…,b_{22}]+…+a_{ip}\cdot[b_{p1},…,b_{pn}]=\]

\[a_{i1}\cdot B^{(1)}+a_{i2}\cdot B^{(2)}+…+a_{in}\cdot B^{(n)}\].

Onde $$B^{(i)}$$ é a i-ésima linha da matriz $$B$$.

Equivalência 2: A j-ésima coluna da matriz $$C$$ corresponde à combinação linear das colunas de $$A$$, com os coeficientes da j-ésima coluna de $$B$$.

Com efeito, os elementos da coluna (j) da matriz $$C$$ são da forma apresentada a seguir:

\[C_{j}=[c_{1j},…,c_{mj}]=[(a_{11}b_{1j}+…+a_{1p}b_{pj}),…,(a_{m1}b_{1j}+…+a_{mp}b_{pj})]=\]

\[ b_{1j}[a_{11},…,a_{m1}]+…+b_{pj}[a_{1p},…,a_{mp}]=b_{1j}A_{1}+…+b_{pj}A_{p}\].

Onde $$A_{s}$$ é a coluna de $$A$$ com índice $$s$$.

Note que o produto matricial pode ser reescrito desta maneira:

\[AB=[\sum^{p}_{s=1}b_{s1}A_{s};…;\sum^{p}_{s=1}b_{sn}A_{s}]\]

Algoritmo (ikj): este algoritmo aproveita a Equivalência 1, demonstrada. Fixando o índice da linha (i),a respectiva linha de C receberá, no primeiro  (k), a multiplicação da linha (k) de B pelo escalar $$a_{ik}$$. Nos próximos passos de (k), este valor é somado às próximas multiplicações de linhas de B pelos respectivos escalares.

Para teste computacionais, faremos $$m=p=n$$, uma vez que a complexidade polinomial cúbica pode ser calculada para $$max\{m,n,p\}$$.

for i = 1:n
for k = 1:n
const=A(i,k); //armazena o k-esimo termo da i-ésima linha de A

for j = 1:n
C(i,j) = C(i,j) + const*B(k,j);  
end
end
end

Algoritmo (jki): este algoritmo aproveita a Equivalência 2. Fixada a coluna (j), a matriz $$C$$ é preenchida com as combinações lineares das colunas da matriz $$A$$. Primeiro,fixa a linha (i), e percorre todos os elementos da coluna de $$A$$.

for j =1:n
for k = 1:p

const = B(k,j);
for i = 1:m
C(i,j) = C(i,j) + A(i,k)*const;
end
end
end

Desempenho computacional

Algoritmos implementados: comportamento polinomial cúbico.

O post Álgebra Linear Computacional – Produto Matricial apareceu primeiro em Educacional Plenus.