Exercícios anteriores Definição \[cond_{p}(A)=||A||_{p}\cdot||A^{-1}||_{p}\]. Assumindo que $$A_{n\times n}$$ é invertível. Exercício Dadas as matrizes invertíveis $$A$$ e $$B$$ em $$\mathbb{M}_{n\times n}$$, demonstre as propriedades a...
Exercício Seja $$w\in V=\mathbb{R}^{n}$$ tal que $$||w||_{2}=1$$. P = $$ww^{t}$$, e $$Q=I-2P$$. Demonstre os itens a seguir. a) $$P$$ é projetor ortogonal. b) $$Qw=-w$$. c)...
Suponha que $$H<G$$, com [G:H] = 2 (índice de H). Prove que $$H\unlhd G$$ (subgrupo normal de G). Solução: 1) Observamos que as únicas classes...
Sejam $$N$$ e $$M$$ subgrupos normais de $$G$$. Se $$N\cap M =\{1_{G}\}$$, então $$mn=nm$$, para quaisquer $$n\in N$$ e $$m\in M$$. Solução: Como $$N$$ é...
Seja ρ uma representação de grau 1 de G. Prove que G/Ker(ρ) é abeliano. Suppose that ρ is a representation of G of degree 1. Prove...
Questão Seja A uma matriz quadrada e ε > 0. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: a) $$\lambda$$ é autovalor de $$A+B$$, para alguma...
Questão Seja $$\phi: A_{1}\longrightarrow A_{2}$$ um homomorfismo de anéis. Seja $$I$$ um ideal de $$A_{1}$$ contido no $$ker(\phi)$$. Mostre que a aplicação: $$\bar{\phi}: A_{1}/I\longrightarrow A_{2}$$;...
Seja $$Gr$$ o conjunto de todos os grupos, e seja $$A=hom(G,H)$$ o conjunto de todos os homomorfismos existentes entre quaisquer grupos $$G$$ e $$H$$ em...
Questão Sejam $$d\in\mathbb{R^{n}}$$ com todos os seus valores distintos,$$ v\in\mathbb{R^{n}}$$ com todos os elementos não nulos e $$a\in\mathbb{R}$$, e defina $$A=\left(\begin{array}{rrr} D&v\\ v^{T}&a \end{array}\right)$$, com...
Definição Definição de Norma vetorial \[||v||_{p}=(\sum^{n}_{i=1} |v_{i}|^{p})^{1/p}\]. Definição de Norma matricial \[||A||_{p}=\underset{||x||_{p}\neq 0}{sup}\frac{||Ax||_{p}}{||x||_{p}}\] Exercício Demonstre as propriedades da norma p, para matrizes $$A\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$$, $$B\in\mathbb{M}_{n\times...
Sobre um grupo $$G$$, com subgrupo $$H$$, define-se o conjunto $$X=\{xH,x\in G\}$$, das classes laterais à esquerda de $$H$$. a) O mapa $$G\times X\longrightarrow X$$,...
Questão Prove que a matriz de Householder, $$H=I-\frac{2}{|u|^{2}}\cdot u\otimes u^{T}$$, é uma matriz ortogonal. Observação: O produto exterior é igual à matriz produto de coordenadas...