Solução:

i) Suponha que todas as transposições façam parte de $$Aut(X)$$. Consideramos duas opções. Se o grafo não for vazio, então existe pelo menos uma aresta, digamos $$\{i_{1},i_{2}\}$$, no conjunto $$E(X)$$, para $$i_{1},i_{2}\in\{1,…,n\}$$.

Como $$Aut(X)$$ é um grupo e como as transposições $$(i_{1} i_{2})$$ e $$(i_{2} n_{1})$$, para $$n_{1}\in \{1,…,n\}-\{i_{1},i_{2}\}$$, fazem parte dele, é fato que o produto destas transposições também pertence ao conjunto dos automorfismos. Isto é

\[(i_{1} i_{2})(i_{2} n_{1})=(i_{1} i_{2} n_{1})=\phi(k)\]

também é um automorfismo desse grafo.

Assim, $$\{i_{1},i_{2}\}\in E(X) \Longleftrightarrow \{\phi(i_{1}),\phi(i_{2})\} =\{i_{2},n_{1}\}\in E(X)$$. Como existe a aresta $$\{i_{1},i_{2}\}$$, por hipótese, então existe qualquer aresta do tipo $$\{i_{2},n_{1}\}$$, para $$n_{1}\in \{1,…,n\}-\{i_{1},i_{2}\}$$.

Dado que $$(n_{1} n_{2})$$, para $$n_{2}\in \{1,..,n\}-\{n_{1},i_{2}\}$$, também é um automorfismo, pode-se utilizar o mesmo argumento anterior para evidenciar que

\[(i_{2} n_{1})(n_{1} n_{2})=(i_{2} n_{1} n_{2})=\eta(k).\]

Isto significa que $$\{i_{2},n_{1}\}\in E(X) \Longleftrightarrow \{\eta(i_{2}),\eta(n_{1})\} =\{n_{1},n_{2}\}\in E(X)$$, para todo $$n\in \{1,…,n\}-\{n_{1},i_{2}\}$$. As duas conclusões, tanto esta, quanto a conclusão do parágrafo anterior, evidenciam que existe a aresta $$\{x,y\}$$, para quaisquer vértices $$x$$ e $$y$$ do grafo. Isto é: o grafo é completo.

Reciprocamente, se o grafo for vazio, todas as transposições preservam a vacuidade do conjunto de arestas.

ii) Suponha que o grafo seja completo, então existem arestas para quaisquer pares de vértices. Logo, qualquer transposição pertence a $$Aut(X)$$, uma vez que todas preservam as arestas entre quaisquer pares de vértices. Por outro lado, se o grafo for vazio, todas as transposições pertencem ao conjunto dos automorfismos, uma vez que não há arestas neste grafo, o que será preservado por qualquer transposição.

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