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Permutação – Exercício 12

Plenus — Tue, 06 Feb 2024 09:55:58 +0000

As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é

a) PROVA.
b) VAPOR.
c) RAPOV.
d) ROVAP.
e) RAOPV.

Solução:
Usamos as letras do conjunto {A,O,P,R,V}.

Iniciando as palavras por “A”, teremos A _ _ _ _ = $$1\cdot 4! = 24$$ letras.
Iniciando as palavras por “O”, teremos O _ _ _ _ = $$1\cdot 4! = 24$$ letras.
Iniciando as palavras por “P”, teremos P _ _ _ _ = $$1\cdot 4! = 24$$ letras.

Formamos um total de 72 letras. A próxima palavra inicia-se com a letra R e mantém a ordem alfabética nas suas letras restantes, logo a palavra da 73ª posição é RAOPV.

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Função do 2º Grau – Exercício 13

Plenus — Mon, 09 Oct 2023 04:04:52 +0000

A densidade populacional de cada distrito da cidade de South Hill, denotada por D (em número de
habitantes por km²) está relacionada à distância x, em quilômetros, do distrito ao centro da cidade. A fórmula que relaciona D e x é dada por D(x) = 5 + 30x – 15x².
.
a) Um distrito, localizado no centro da cidade de São Paulo, tem densidade populacional de 16,5 hab/km². Comparando a densidade populacional do distrito que fica no centro da cidade de South Hill com a do
distrito do centro da cidade de São Paulo, a segunda supera a primeira em

b) Determine a que distância do centro da cidade de South Hill a densidade populacional é máxima. Qual
é o valor dessa densidade máxima?

Solução:
a) Como o distrito de South Hill localiza-se no centro da referida cidade, a densidade populacional é

\[D(0) = 5+30\cdot 0- 15\cdot 0^{2} = 5.\]

A densidade do distrito paulistano é de 16,5. Então o percentual de aumento do primeiro em relação ao segundo é dado pela fórmula do acréscimo percentual: $$5(1+y) = 16,5$$, logo $$y = 2,3 = $$230%.

b) Precisamos calcular o “x” do vértice da função do segundo grau.

\[x_{v}=\frac{-b}{2a}=\frac{-30}{2\cdot (-15)}=1.\]

Para calcular a densidade populacional, substituímos o valor encontrado em D:

\[D(1) = 5+30 – 15 = 20.\]

Então a distância é de 1 Km e a densidade é de 20 hab/km².

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Função do 2º Grau – Exercício 12

Plenus — Mon, 09 Oct 2023 03:49:44 +0000

A concentração C, em partes por milhão (ppm), de certo medicamento na corrente sanguínea após
t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial C(t) = –0,05t² + 2t + 25. Nessa função, considera-se t = 0 o instante em que o paciente ingere a primeira dose do medicamento. Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse medicamento e tomou a primeira dose às 11 horas da manhã de uma segunda-feira.

a) A que horas a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez?

b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da semana e horário ele deverá prescrever a segunda dose?

Solução:
a) Basta igualarmos a função ao valor indicado:

\[-0,05t^{2} + 2t+25 = 40\Longrightarrow\]

\[-0,05t^{2}+2t-15=0.\]

Se multiplicarmos a equação por 20, obtemos $$-t^{2}+40t-300 = 0$$. Resolvendo por Bháskara, obtemos $$t=\frac{-40\pm\sqrt{40^{2}-4\cdot (-1)\cdot (-300)}}{-2}$$, que resulta em $$t=10$$ ou $$t=30$$. Isso quer dizer que a concentração de 40 ppm é atingida pela primeira vez em 10 horas, a partir das 11h da manhã, ou seja, às 21h.

b) O valor máximo é dado pelo “x” do vértice, então $$x_{v}=\frac{-b}{2a}=-\frac{40}{-2}=20$$ horas. Isso implica que o médico de Álvaro prescreverá a segunda dose a ser tomada às 7h da terça-feira.

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