Considere o polinômio $$p(x)=x^{4}+1=0$$.
a) Ache todas as raízes complexas de p(x).
b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.
Solução:
a) Procuramos o número $$x$$ tal que $$x=(-1)^{1/4}$$. O número 1 é representado no plano complexo pela forma trigonométrica $$1= cos(\pi) + i sen(\pi)$$.
Utilizando a fórmula das raízes de De Moivre, teremos os seguintes resultados para $$x$$:
\[x\in\{cos(\frac{\pi+2k\pi}{4})+i sen(\frac{\pi+2k\pi}{4}), k\in \{0,1,2,3\}\}.\]
Os arcos que compõem esse conjunto são π/4 , 3π/4 , 5π/4 e 7π/4, de sorte que as raízes quartas do número -1 são :
- $$\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$$;
- $$\frac{\sqrt{2}}{2} (-1+i)$$;
- $$\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-i)$$; e
- $$\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)$$.
b) Podemos escrever o polinômio como produto dos mônomios $$(x-r)$$, em que $$r$$ são as raízes do número complexo. Então,
\[(x-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i))\cdot (x-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i))=\]
\[ [(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+1/2]=p_{1}(x).\]
O outro polinômio de grau dois com coeficientes reais é
\[(x-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-i))\cdot (x-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i))=\]
\[ [(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+1/2]=p_{2}(x).\]
Finalmente, $$p(x)=p_{1}(x)\cdot p_{2}(x)$$.
0 comentários