a) √2/6
b) √2/3
c) √2/2
d) 2√2/3
3) 3√2/5

Gabarito: d)
Solução (no vídeo abaixo):

O post Na figura abaixo, a reta s passa pelo ponto P e pelo centro apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 17/12
b) 19/12
c) 23/12
d) 25/12
e) 29/12

Gabarito: e)
Solução (no vídeo abaixo):

O post Na figura abaixo, tem-se AC = 3 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20

Solução:
O número de homens (y) + o número de mulheres (x) fornece a equação $$x+y=37$$.
A quantidade de duplas de homens que podem ser feitas é dada por $$C_{y,2}=\frac{y!}{2!(y-2)!}=\frac{y^{2}-y}{2}$$.

A quantidade de duplas em que um componente é mulher e o outro é homem é dada por $$x\cdot y$$. Em função de $$y$$, temos $$y\cdot(37-y)=37y-y^{2}$$.

Seguindo as regras dos apertos e acenos, cada dupla masculina produz dois apertos e cada dupla mista produz apenas um aperto. Uma vez que o total é de 720 apertos, temos a equação

\[2\cdot \frac{y^{2}-y}{2} + 37y-y^{2} = 720\Longrightarrow \]

\[36y = 720 \longrightarrow y = 20.\]

O total de mulheres é $$x = 37-20 =17$$.

O post FUVEST – Em uma certa comunidade, dois homens sempre apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) R$ 20.000,00
b) R$ 22.000,00
c) R$ 24.000,00
d) R$ 26.000,00
e) R$ 28.000,00

Solução:
A fórmula dos Juros Compostos é dada por $$V_{final}=V_{inicial}\cdot (1+i)$$, em que $$i$$ é o percentual de juros. Se somarmos os capitais de João(x), Maria(y) e Antônia(z), teremos a equação $$x+y+z=100.000$$.

Após um ano de aplicação, cada u ficou com um capital de $$V_{inicial}(1+10%) = 1,1\cdot V_{inicial}$$. Então os três amigos ficaram, respectivamente, com $$1,1x, 1,1y$$ e $$1,1z$$. Após mais um ano de rentabilidade a 10%, cada amigo terá $$1,1\cdot V_{inicial}\cdot (1+10%) = 1,21\cdot V_{inicial}$$, logo os capitais de cada um são, respectivamente $$1,21x, 1,21y$$ e $$1,21z$$.

Ao final do primeiro ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 + o dobro do capital atualizado de João, então ela obteve $$1,1z = 11.000 + 2,2x$$. Podemos reescrever essa equação deste modo: $$1,1z-2,2x = 11.000$$, então $$z-2x = 10.000$$.

Ao final do segundo ano, Antônia passou a ter a soma dos capitais atualizados de João e Maria, isto é: $$1,21z = 1,21x+1,21y$$, logo $$z=x+y$$. As equações do sistema são:

• x+y+z = 100.000
• z-2x=10.000
• z=x+y.

Substituindo ‘z’ nas duas primeira equações, obtemos $$2x+2y = 100.000$$ e $$y-x = 10.000$$. Se multiplicarmos a segunda dessas equações por (-2) e somarmos à primeira delas, obtemos

\[4x = 100.000 – 20.000 = 80.000.\]

Daqui, temos $$x=R\$ 20.000,00$$.

O post FUVEST – João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) uma reta.
b) duas retas.
c) quatro retas.
d) uma parábola.
e) duas parábolas.

Solução:
Resolvendo, por Bháskara, a equação do segundo grau, obtemos

\[t=\frac{1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot(-6)}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}.\]

As soluções possíveis são $$t=3$$ ou $$t=-2$$. Como $$t=|x-y|$$, só podemos tomar o valor $$t=3$$, uma vez que o módulo sempre resulta em um número positivo. Assim, teremos duas possibilidades: x-y = 3 ou y-x = 3, duas equações de reta. O conjunto de pontos é a união de duas retas no plano cartesiano.

O post FUVEST – O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15

Solução:
Coloquemos os termos da progressão aritmética do seguinte modo: (a-r), a, (a+r), em que $$r$$ é a razão e o termo central é $$a$$. Se somarmos os três termos, teremos o resultado igual a 30, logo $$3a = a-r+a+a+r = 30$$, então $$a=10$$.

Coloquemos, agora, os termos, somados aos números do enunciado, em progressão geométrica. Temos a sequência (14-r), 6 , 1+r. Uma propriedade da progressão geométrica diz que o termo que se situa entre outros dois terá seu quadrado igual ao produto dos seus vizinhos, isto é:

\[(14-r)(1+r)=6^{2}=36.\]

Assim, temos a equação do segundo grau $$r^{2}-13r+22=0$$. Por Bhaskara, as raízes serão $$r=11$$ ou $$r=2$$. Observe que, ao substituirmos os valores na sequência, teremos duas possibilidades:

• -1,10,21;
• 8,10,12 .

O único termo que está presente no gabarito é igual a 12.

O post Progressão Geométrica – Exercício 31 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

Solução:
Sejam a,b e c elementos do conjunto {1,2,…,9}, e seja N = 100a+10b+c. Ao fazermos $$N-396$$, obtemos 100(a-3) + 10(b-9)+(c-6). Além disso, $$a+b=8$$.

As possibilidades para o resultado de a-3, b-9 e c-6 estão no conjunto {a,b,c}.

• Se $$a-3 = a$$, teremos $$0=-3$$, o que é absurdo.
• Se $$a-3 = b$$, teremos, $$a+a-3 = 8$$, logo $$a=6$$.
• Se $$a-3=b$$, há duas possibilidades.

A primeira delas ocorre com $$b-9 = c$$ e $$c-6 = b$$. Somando as duas equações, obteríamos o estapafúrdio resultado de $$-9-6 = 0$$. A segunda opção seria $$b-9 = b$$, que também indica um absurdo. Portanto a única opção viável é $$a=6$$.

O post FUVEST – Um número natural N tem três algarismos apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Se AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, a área do trapézio ABED, em cm², é:
a) 84.
b) 96.
c) 120.
d) 150.
e) 192.

Solução:

Dividimos o trapézio em duas figuras, ao traçarmos a reta EE’, que é paralela à reta AD e tem a mesma medida desta, e seja $$DE = x$$.

Confira mais exercícios resolvidos sobre área de triângulos aqui!

A área do retângulo ADEE’, cujas dimensões são $$x$$ e $$8$$, é igual a $$8x$$. A área do triângulo BEE’, cujos catetos são $$8$$ e $$15-x$$, é dada pela fórmula da área dos triângulos: $$\frac{8(15-x)}{2}=4(15-x)$$.  A área do trapézio é, portanto, igual a  8x + 60 – 4x = 4x + 60$$.

Para calcularmos o valor de $$x$$, observamos que os triângulos BEE’ e DEC são semelhantes, pois possuem dois pares de ângulos iguais. Daqui, escrevemos a proporção $$\frac{DE}{E’B}=\frac{DC}{E’E}$$. Como $$DC = 20-8 = 12 cm$$, teremos

\[\frac{x}{15-x}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.\]

Multiplicando-se em cruz, teremos $$2x = 45 – 3x$$, portanto $$5x = 45$$ e $$x = 9$$.

A área do trapézio é $$4\cdot 9 + 60 = 96 cm^{2}$$.

O post Área de Triângulos – Exercício 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Qual é a aceleração do corredor nos primeiros 20 m da corrida ?
b) Qual é a velocidade atingida ao final dos primeiros 20 m ?
c) Qual é o tempo gasto pelo corredor em toda a prova ?

Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos de MUV
Confira nossa lista de Exercícios Resolvidos de Aceleração

Solução:

a) Nos primeiros 20 metros, o corredor parte do repouso (velocidade inicial e posição inicial iguais a zero). Usamos o ‘sorvetão‘.
\[S=S_{0}+v_{0}t+at^{2}/2 \Longrightarrow 20 = a\cdot (4)^{2}/2 a=\frac{20\cdot 2}{16}= 2,5 m/s^{2}\].

b) Usaremos a equação de Torricelli. Com $$\Delta s = 20m$$ e $$v_{0}=0$$ (partindo do repouso).
\[v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta s\Longrightarrow v=\sqrt{2\cdot 2,5\cdot 20}=\sqrt{100}=10 m/s^{2}\].

c) A velocidade final da primeira porção do percurso é a velocidade que o corredor descreve nos últimos 80 metros de prova. Basta utilizarmos a equação da velocidade constante para o movimento uniforme.
\[10=v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{80}{t}\Longrightarrow t = \frac{80}{10}=8 s\].
O tempo durante todo o percurso é $$8+4=12s$$.

O post UNICAMP 2006 – 2ª Fase – Q. 01 (Física) apareceu primeiro em Educacional Plenus.