b) Sejam $$B$$ e $$C$$ matrizes $$m\times n$$, tais $$BX = CX$$, para todo $$X$$, $$n\times 1$$. Mostre que $$B = C$$. (Sugestão: use o item anterior.)

Solução:

a) Dada a afirmação de que $$AX=0$$, para todo vetor $$X$$ na condição apresentada, podemos substituir $$X=E_{j}$$, para todo $$j\in\{1,..,n\}$$.

Deste modo, notamos que $$AE_{j}=0$$, mas, do exercício anterior, $$AE_{j}=A_{j}$$ (vetor coluna da matriz). Portanto, $$AE_{j}=A_{j}=0$$ (vetor nulo), para todo $$j$$. Segue que a matriz é formada por vetores colunas nulos, isto é, ela também é nula.

b) \[BX=CX \longrightarrow BX-CX=0 \longrightarrow (B-C)X=0\].

Do item anterior, a matriz $$B-C$$ é nula, ou seja, $$B-C=0\longrightarrow B=C$$.

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a) Dada a matriz coluna $$(e_{j})_{n\times 1}= \left[\begin{array}{c} 0\\.\\1\\.\\ 0 \end{array}\right] $$, com $$e_{j1}=1$$ e $$e_{k1}=0$$, para $$k\neq j$$. Prove que $$Ae_{j}$$ corresponde à coluna de índice $$i$$ da matriz $$A$$.

b) Dada a matriz linha $$(e_{i})^{T}_{1\times m}=(0,…1,..0)$$, com $$e_{1i}=1$$ e $$e_{1k}=0$$, para $$k\neq i$$. Prove que $$(e_{j})^{T}A$$ corresponde à linha de índice $$j$$ da matriz $$A$$.

c) Prove que $$e_{i}^{T}Ae_{j}=a_{ij}$$.

Solução:

Usa-se a definição de produto matricial para a resolução: $$AB=(c_{ij})$$, em que $$c_{ij}=\sum^{k}_{s=1}a_{is}b_{sj}$$, se o produto for bem definido.

a) O produto $$Ae_{j}$$ resulta, por definição, em uma matrix $$m\times 1$$ (vetor coluna), tal que $$Ae_{j}= (c_{p1})$$.

Da definição de produto, $$c_{p1}=\sum^{n}_{s=1}a_{ps}e_{s1}= \sum^{n}_{s\neq j}a_{ps}e_{s1}+a_{pj}e_{j1}=0+a_{pj}e_{j1}=a_{pj}e_{j1}=a_{pj}$$.

Daqui, observamos que $$Ae_{j}=\left[\begin{array}{c} a_{1j}\\.\\.\\.\\ a_{mj} \end{array}\right] $$ (j-ésima coluna de $$A$$).

b) O produto $$(e_{i})^{T}A$$ resulta, por definição, em uma matrix $$1\times n$$ (vetor linha), tal que $$(e_{i})^{T}A= (c_{1q})$$

Da definição de produto, $$c_{1q}=\sum^{m}_{s=1}e_{1s}a_{sq}= \sum^{n}_{s\neq i}e_{1s}a_{sq}+e_{1i}a_{iq}=0+e_{1i}a_{iq}=e_{1i}a_{iq}=a_{iq}$$.

Daqui, observa-se que $$(e_{i})^{T}A=(a_{i1},…,a_{in})$$.

c) Usando as propriedades anteriores, facilmente obtém-se a solução.

\[e_{i}^{T}Ae_{j}=e_{i}^{T}\left[\begin{array}{c} a_{1j}\\.\\.\\.\\ a_{mj} \end{array}\right] =a_{ij}\].

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