Álgebra Linear Computacional – Matriz de Posto 1
Definição Dados os vetores $$v_{m\times 1}$$ e $$w_{n\times 1}$$, define-se a matriz a seguir, a partir do produto exterior: \[C=vw^{T}\]. Propriedades de $$C$$ As colunas...
Álgebra Linear
Aleatório
Álgebra Linear Computacional – Matriz de Posto 1 (potência matricial)
Definição e propriedade da matriz $$C$$ (clique aqui). Propriedade: Seja $$C=(vw^{T})$$, com $$v_{n\times 1}$$ e $$w_{n\times 1}$$. É verdade que $$C^{k}=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})$$. Demonstração: Provaremos para $$k=2$$,...
Álgebra Linear – Operador Adjunto (exercícios 2)
Questões Anteriores Exercício Seja $$f^{*}:\mathbb{R}\longrightarrow E$$ a adjunta do funcional linear $$f: E\longrightarrow \mathbb{R}$$. Prove que $$v=f^{*}(1)$$ é vetor de $$E$$ que corresponde a $$f$$...
Álgebra Linear – Matrizes – SVD (exercício 2)
Questão Seja $$A\in\mathbb{M(R)}_{m\times n}$$, e seja a sua decomposição SVD $$A=U\Sigma V^{T}$$, onde $$U=[u_{1}|…|u_{m}]$$, $$V=[v_{1}|…|v_{n}]]$$ e $$\sigma = diag(\sigma_{1},…,\sigma_{r})$$, com $$r=min\{m,n\}$$. Prove as seguintes afirmações:...
Álgebra Linear – Produto de Matrizes (exercício 3)
Exercícios anteriores Seja $$A$$ uma matriz de ordem $$m\times n$$, e seja $$B$$ uma matriz de ordem $$n\times p$$ que vamos indicar da seguinte forma:...
Álgebra Linear – Teorema da Matriz de Mudança de Base
Teorema Dado um espaço vetorial de dimensão finita $$V$$ sobre um corpo $$\mathcal{K}$$ com duas bases fixadas, $$\mathcal{S}=\{v_{1},..,v_{n}\}$$ e $$\mathcal{S}’=\{u_{1},..,u_{n}\}$$. Seja $$w\in V$$ tal que...
Álgebra Linear – Base e Dimensão (Exercício 1)
Questão Seja $$E=F_{1}\oplus F_{2}$$. Se $$\mathcal{B}_{1}$$ é uma base de $$F_{1}$$, e $$\mathcal{B}_{2}$$ é uma base de $$F_{2}$$, prove que $$\mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2}$$ é uma base de...
Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 4)
Questão Seja A uma matriz quadrada e ε > 0. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: a) $$\lambda$$ é autovalor de $$A+B$$, para alguma...
Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 9)
Seja 𝑇:𝒳→𝒴 um operador linear cuja inversa existe(inversível). Se o conjunto $$\{𝑥_{1},…,𝑥_{𝑛} \}$$ é um conjunto linearmente independente em 𝒳, mostre que o conjunto $$\{𝑇𝑥_{1},…,𝑇𝑥_{𝑛}\}$$...
Álgebra Linear – Uma demonstração do Teorema do Núcleo e da Imagem
Para a demonstração, assume-se o conhecimento sobre classes equivalência em álgebra linear. Teorema: Sejam dois espaços de dimensão finita $$V$$ e $$W$$. Seja $$\tau\in\mathcal{L}(V;W)$$, uma...
Álgebra Linear – Matrizes – SVD (exercício 1)
Questão Seja $$A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$$. Prove que $$\sigma_{1}=sup_{x,y}\frac{y^{T}Ax}{||y||_{2}||x||_{2}}$$, para $$x\in\mathbb{R^{n}} e $$y\in\mathbb{R^{m}}$$, onde $$sigma_{1}$$ é o maior valor singular da SVD. Demonstração: Pelo teorema da...
Álgebra Linear – Sistemas Lineares Homogêneos(Teorema)
Teorema: Seja uma matriz $$A\in\mathcal{M}({\mathbb{R}})_{m\times n}$$, com $$m<n$$. Então o sistema linear $$Ax=0$$ admite uma solução não trivial (não nula). Demonstração: Passo 1 Por indução,...