Para a demonstração, assume-se o conhecimento sobre classes equivalência em álgebra linear. Teorema: Sejam dois espaços de dimensão finita $$V$$ e $$W$$. Seja $$\tau\in\mathcal{L}(V;W)$$, uma...
Teorema Dado um espaço vetorial de dimensão finita $$V$$ sobre um corpo $$\mathcal{K}$$ com duas bases fixadas, $$\mathcal{S}=\{v_{1},..,v_{n}\}$$ e $$\mathcal{S}’=\{u_{1},..,u_{n}\}$$. Seja $$w\in V$$ tal que...
Definição Dados os vetores $$v_{m\times 1}$$ e $$w_{n\times 1}$$, define-se a matriz a seguir, a partir do produto exterior: \[C=vw^{T}\]. Propriedades de $$C$$ As colunas...
Definição Definição de Norma vetorial \[||v||_{p}=(\sum^{n}_{i=1} |v_{i}|^{p})^{1/p}\]. Definição de Norma matricial \[||A||_{p}=\underset{||x||_{p}\neq 0}{sup}\frac{||Ax||_{p}}{||x||_{p}}\] Exercício Demonstre as propriedades da norma p, para matrizes $$A\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$$, $$B\in\mathbb{M}_{n\times...
Questão Seja $$A:E\longrightarrow F$$ uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno. Prove: i) Se $$A$$ é sobrejetiva, então $$AA^{*}:F\longrightarrow...
Definição e propriedade da matriz $$C$$ (clique aqui). Propriedade: Seja $$C=(vw^{T})$$, com $$v_{n\times 1}$$ e $$w_{n\times 1}$$. É verdade que $$C^{k}=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})$$. Demonstração: Provaremos para $$k=2$$,...
Questão Sejam $$d\in\mathbb{R^{n}}$$ com todos os seus valores distintos,$$ v\in\mathbb{R^{n}}$$ com todos os elementos não nulos e $$a\in\mathbb{R}$$, e defina $$A=\left(\begin{array}{rrr} D&v\\ v^{T}&a \end{array}\right)$$, com...
Exercícios anteriores Seja $$A$$ uma matriz de ordem $$m\times n$$, e seja $$B$$ uma matriz de ordem $$n\times p$$ que vamos indicar da seguinte forma:...
Exercícios anteriores Exercício 2 Sejam $$A$$ uma matriz de ordem $$m \times n$$ e $$X$$ uma matriz coluna de ordem $$n \times 1$$, que são...
Definição: $$A_{m\times p}$$ e $$B_{p\times n}$$ são duas matrizes. O produto é definido como a matriz $$C=AB$$, cujos elementos são da seguinte forma: \[c_{ij}=\sum^{p}_{k=1}a_{ik}b_{kj}\]. Equivalência...
Dadas as funções lineares $$A, B: E\longrightarrow F$$, prove as afirmações a seguir. a) $$(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$$. b) $$(A^{*})^{*} = A$$. Solução: a) $$<ABx,y>=<x,...
Questão Sejam $$u,v\in E$$, vetores linearmente independentes. Dado $$\alpha\neq 0$$, prove que o conjunto de dois elementos $$\{v,v+\alpha u\}$$ é uma base do subespaço gerado...
