São considerados nanomateriais aqueles cujas dimensões variam entre 1 e 100 nanômetros (nm), sendo que 1 nm equivale a $$10^{–9}$$ m, ou seja, um bilionésimo de metro.

Uma das características dos nanomateriais refere-se à relação entre seu volume e sua área superficial total.

Por exemplo, em uma esfera maciça de 1 cm de raio, a área superficial e o volume valem 4π cm² e (4/3)π cm³, respectivamente. O conjunto de nanoesferas de 1 nm de raio, que possui o mesmo volume da esfera dada, tem a soma de suas áreas superficiais

(A) 10 vezes maior que a da esfera.
(B) 10³ vezes maior que a da esfera.
(C) $$10^{5}$$ vezes maior que a da esfera.
(D) $$10^{7}$$ vezes maior que a da esfera.
(E) $$10^{9}$$ vezes maior que a da esfera.

Solução:

Da geometria espacial, sabemos que o volume de uma esfera é  $$V=(4/3)\pi\cdot r^{3}$$ e sua área é dada por $$4\pi\cdot r^{2}$$, em que $$r$$ é o raio da respectiva esfera.

O conjunto em questão possui n esferas com $$r=10^{-9}m$$, então cada esfera tem volume $$V=(4/3)\pi\cdot (10^{-9})^{3}=(4/3)\pi\cdot 10^{-27}$$ m³. Seja $$n$$ o número de esferas do conjunto; a fim de que o conjunto tenha volume idêntico à da esfera do enunciado, temos a igualdade

\[n\cdot (4/3)\pi\ 10^{-27}\text{m}^{3}=(4/3)\pi \text{cm}^{3}=(4/2)\pi (10^{-2})^{3}\Longrightarrow\]

\[n\cdot (4/3)\pi\ 10^{-27}\text{m}^{3}=(4/3)\pi 10^{-3}\text{m}^{3}\Longrightarrow\]

\[n = 10^{-6}/10^{-27}=10^{21}.\]

A área da esfera de 1 cm de raio é dada por $$4\pi\text{cm}^{2}=4\pi\cdot (10^{-2})^{2}\text{m}^{2}$$, logo sua área será de $$4\pi 10^{-4}\text{m}^{2}$$.

A área total da superfície do conjunto de nanoesferas é dada por 

\[10^{21}4\pi\cdot (10^{-9})^{2}=\]

\[10^{21}10^{-18}4\pi\cdot m^{2}= 4\pi 10^{3}\text{m}^{2}. \]

Comparando os dois valores, temos

\[\frac{4\pi 10^{3}}{4\pi 10^{-4}}=10^{7}.\]

Isso significa que o conjunto de nanoesferas tem uma área $$10^{7}$$ vezes maior que a esfera de 1 cm.

Resposta: d)

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