\[n\cdot v = \sum^{n}_{1}v.\]

Usamos a Indução Finita para demonstrar esta igualdade e os axiomas das operações com vetores e escalares.

Definimos $$2\cdot v=v+v=\sum^{2}_{1}v$$. Assim, já está provado, pela própria definição da operação, o argumento para $$n=2$$. Além disso, usaremos a notação $$\sum^{n}_{1}v=v+v…+v$$ (n parcelas).

Agora, assumimos a hipótese da indução, $$nv=\sum^{n}_{1}v$$ e provaremos para $$n+1$$. De fato, $$(n+1)v=nv+v$$, das propriedades operacionais dos espaços vetoriais. Assim, é válida a próxima igualdade, por hipótese de indução e também é válido que $$\sum^{n+1}_{1}v=v+\sum^{n}_{1}$$. Logo pode-se escrever

\[(n+1)v=nv+v=(\sum^{n}_{1}v)+v=\sum^{n+1}_{1}v\].

O que demonstra o exercício.

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Solução:

Façamos as contas passo a passo.

\[\alpha v=\beta v\Longleftrightarrow \alpha v-\beta v=0_{V}\Longleftrightarrow (\alpha-\beta)v=0_{V}\]

Por uma propriedade que diz $$a\cdot v=0_{V}\Longrightarrow a=0\;ou\;v=0_{V}$$, experimentamos as duas opções. No primeiro caso, vale que $$\alpha-\beta =0\Longrightarrow \alpha=\beta$$.

Na segunda, porém, é possível obter $$(\alpha-\beta)\cdot 0_{V}=0_{V}$$ e $$\alpha\neq \beta$$.

Portanto a afirmação (implicação) não é válida, dado existir o caso $$v=0_{V}$$.

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Um conjunto $$\mathbb{V}\neq \varnothing$$ é dito ser um espaço vetorial sobre um corpo algébrico $$\mathbb{K}$$, se existirem as seguintes operações:

1. \[ \left\{ \begin{array}{lc} +: & \mathbb{V}\times\mathbb{V}\to\mathbb{V} \\ \;& \;(v,w)\mapsto v+w. \end{array} \right. \].

2. \[ \left\{ \begin{array}{lc} \cdot: & \mathbb{K}\times\mathbb{V}\to\mathbb{V} \\ \;& \;(\lambda,v)\mapsto \lambda v. \end{array} \right. \].

Além disso, as operações definidas anteriormente devem seguir os axiomas a seguir, para $$v,w,u\in\mathbb{V}$$ e $$\alpha,\beta\in\mathbb{K}$$.

• i) $$v+w=w+v$$.
• ii) $$(v+w)+u=v+(w+u)$$.
• iii) Existe um elemento $$0_{V}\in\mathbb{V}$$, tal que $$v+0_{V}=0_{V}+v=v$$, para todo $$v\in\mathbb{V}$$.
• iv) Existe um elemento $$(-v)\in\mathbb{V}$$, tal que $$v+(-v)=(-v)+v=0_{V}$$.
• v) $$\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v$$.
• vi) $$(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v$$.
• vii) $$\alpha(v+w)=\alpha v+\alpha w$$.
• viii) O $$1$$ escalar tem a seguinte propriedade $$1\cdot v=v$$.

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