Prove que, para todo $$X\in\mathbb{R}$$, vale $$\overline{X}=X\cup \partial(X)$$. Conclua que $$X$$ é fechado se, e somente se, $$X\supset \partial(X)$$.

Solução:

Se $$x\in X$$, então é válido, para todo $$\delta >0$$: $$B(x,\delta)\cap \neq\emptyset$$, isso prova que $$X\subset\overline{X}$$. Ainda mais: se $$x\in\partial X$$, então, para todo $$\delta>0$$, tem-se $$B(x,\delta)\cap X\neq\emptyset$$ e $$B(x,\delta)\cap X^{C}\neq\emptyset$$. Do primeiro caso, decorre que $$x\in\overline{X}$$. Provamos que $$\overline{X}\supset X\cup \partial X$$.

Agora, seja $$x\in\overline{X}$$. Sabemos que $$X\subset\overline{X}$$. Se assumirmos $$x\notin X$$, teremos: $$x\in X^{C}$$ e,por consequência, para todo $$\epsilon>0$$, $$B(x,\delta)\cap X^{C}\neq\emptyset$$. Ainda mais: por $$x\in\overline{X}$$, então $$B(x,\delta)\cap X\neq\emptyset$$, isto é, $$x\in\partial(X)$$. Isso prova que $$x\in X$$ ou $$x\in\partial X$$.

Se $$X=\overline{X}$$, então $$X=X\cup\partial X$$, isto é, $$\partial X\subset X$$.

O raciocínio é análogo para $$X\supset \partial X$$.

Questão

Para todo $$X\subset\mathbb{R}$$, prove que $$(int(X))^{C}=\overline{X^{C}}$$.

Solução:

Com efeito, seja $$x\in (int(X))^{C}$$, então $$x\notin int(X)$$, isto é, para todo $$\epsilon>0$$, a vizinhança $$V_{\epsilon}(x)\nsubseteq X$$. Sendo assim, existirá $$p\in V_{\epsilon}(x)$$, de modo que $$p\in X^{C}$$, logo $$V_{\epsilon}(x)\cap X^{C}\neq\emptyset$$. O que prova ser verdadeiro $$x\in\overline{X^{C}}$$.

Por outro lado, sê $$x\in\overline{X^{C}}$$, então $$V_{\epsilon}(x)\cap X^{C}\neq\emptyset$$. Deste modo, nunca ocorrerá $$_{\epsilon}(x)\cap X=\emptyset$$, ou seja, $$x\notin int(X)\Longleftrightarrow x\in (int(X))^{C}$$.

Questão

Sejam $$X$$ e $$Y\subset\mathbb{R}$$. Prove que $$\overline{X\cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}$$ e que $$\overline{X\cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y}$$. Dê um exemplo em que $$\overline{X\cup Y}\subset\neq {X}\cap\overline{Y}$$.

Solução:

i) $$\overline{X\cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}$$.

Seja $$p\in\overline{X\cap Y}$$, então existe $$\epsilon>0$$ tal que toda vizinhança $$V_{\epsilon}(p)\cap (X\cap Y)\neq\emptyset$$. Como $$X\cap Y\subset X$$ e de $$Y$$, é óbvio que $$V_{\epsilon}(p)\cap X\neq\emptyset$$ e que $$V_{\epsilon>0}(p)\cap Y\neq\emptyset$$.

ii) $$\overline{X\cup Y}\subset\overline{X}\cup\overline{Y}$$.

Utilize a lei da distributividade: $$A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)$$.

Seja $$p\in\overline{X\cup Y}$$, então existe $$\epsilon>0$$ tal que toda vizinhança $$V_{\epsilon}(p)\cap (X\cup Y)\neq\emptyset$$. Pela lei da distributividade, é verdade que $$(V_{\epsilon}(p)\cap X)\cup (V_{\epsilon}(p)\cap Y)\neq\emptyset$$. Isto é possível se, ao menos, uma das opções ocorre:

$$(V_{\epsilon}(p)\cap X)\neq\emptyset$$ ou $$(V_{\epsilon}(p)\cup Y)\neq\emptyset$$.

Deste modo, ou $$p\in\overline{X}$$, ou $$p\in\overline{Y}$$, isto é, $$p\in\overline{X}\cup\overline{Y}$$.

Por outro lado, seja $$p\in\overline{X}\cup\overline{Y}$$, então $$p\in\overline{X}$$ ou $$p\in\overline{Y}$$. Do primeiro caso, tem-se, para qualquer $$\epsilon>0$$, que $$V_{\epsilon}(p)\cap X\neq\emptyset$$. Como $$X\subset X\cup Y$$, é natural que $$V_{\epsilon}(p)\cap (X\cup Y)\neq\emptyset$$, logo $$p\in\overline{X\cup Y}$$. O segundo caso é análogo.

iii) Um exemplo em que $$\overline{X\cup Y}\neq \overline{X}\cap\overline{Y}$$.

Sejam $$X=(0,1)$$ e $$Y=(1,2)$$. Fato é que $$X\cap Y =\emptyset$$, então $$\overline{X\cap Y}=\overline{\emptyset}=\emptyset$$, pois o vazio é aberto e fechado.

Por outro lado, $$\overline{X}=[0,1]$$ e $$\overline{Y}=[1,2]$$, logo $$\overline{X}\cap\overline{Y}=\{1\}$$. Mas é óbvio que $$\{1\}\nsubseteq  \emptyset$$.

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