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CUSTO MARGINAL

• O custo de produção de 𝑞 relógios é dado pela equação 𝐂(𝐪)=𝟏𝟓𝟎𝟎+𝟑𝐪+𝐪².
Calcule o custo marginal em q=40.
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• Considere a função de custo dada por C(x) = 0,30x³ – 2,50x² + 20x + 200. Assinale a alternativa que apresenta o valor do custo marginal do produto x quando são produzidas 17 unidades do produto.
a) R$ 195,10. | b) R$ 205,10. | c) R$ 265,10. | d) R$ 300,10. | e) R$ 302,10.
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• Se C(x) é o custo total de produção de x unidades de uma certa mercadoria, 𝑪(𝒙)=𝟒𝒙^𝟑/𝟐+𝟐𝟎𝒙+𝟏𝟎𝟎, ache: (a) o custo marginal quando 25 unidades são produzidas;
(b) o número de unidades produzidas quando o custo marginal é $ 62,00.
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•O custo total da produção de x unidades de um certo produto é dado por
$$C(x) = 40 + 3x + 9\sqrt{2}x^{1/2}$$.  Encontre
(a) o custo marginal de quando 3 unidades são produzidas e
(b) o número de unidades produzidas quando o custo marginal e R$ 4,50.
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• Suponha que um líquido seja produzido por certo processo químico e que a função custo total C(x) seja dada por $$C(x)=6+4\sqrt{x}$$, em que x representa o volume do líquido.  Calcule
(a) o custo marginal quando 16 litros são produzidos.
(b) e o número de litros produzidos quando o custo marginal é $ 0,40 por litro.
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• Em uma empresa, o custo, em reais, para produzir $$q$$ unidades de televisores é dado por C(q)=0,02q³-6q²+900q+10000.
a) Obtenha a função Custo Marginal.
b) Obtenha o custo marginal aos níveis $$q=50, q=100$$ e $$q=150$$, explicando seus significados.
c) Calcule o valor real para produzir a 101ª unidade e compare o resultado com o obtido no item anterior.
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RECEITA MARGINAL 

• A receita total obtida com a venda de x relógios é 𝑅 (𝑥) , com 𝑹 ( 𝒙 )= 𝑰𝑶𝑶𝒙− 𝒙²/𝟔. Calcule
(a) a função receita marginal;
(b) a receita marginal quando x = 15;
(c) a receita real da venda do décimo sexto relógio.
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• Em uma indústria têxtil, o preço de um tipo de toalha é dado por $$p = 0,001\cdot q + 10$$, onde $$0\leq q\leq 10.000$$.
a) Obtenha a função Receita.
b) Obtenha a função Receita Marginal.
c) Obtenha a receita marginal aos níveis $$q = 4.000, q = 5.000$$ e $$q = 6.000$$, interpretando seus significados.
d) Esboce o gráfico da receita marginal e interprete seu crescimento ou decrescimento e intervalos em que a receita marginal é positiva ou negativa, relacionando tais resultados.
e) Esboce o gráfico da receita.
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• Em uma fábrica de ventiladores, o preço de um tipo de ventilador é dado por p=-2q+800, em que 0≤q≤400.
a)Obtenha a função Receita.
b)Obtenha a função Receita Marginal.
c)Obtenha a receita marginal aos níveis q∈{100,200,300} e interprete seus significados.
d)Esboce o gráfico da receita marginal e interprete seu crescimento ou decrescimento e intervalos em que a receita marginal é positiva ou negativa, relacionando tais resultados.
e)Esboce o gráfico da receita.
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LUCRO MARGINAL 

• Após um levantamento estatístico, verificou-se que a função demanda de uma empresa é dada por $$p = 17 – 2x$$ e sua função custo, por $$C = 5 + x$$. Analisando as funções mencionadas, assinale a alternativa que representa o valor de “x” que maximiza o lucro dessa empresa.
a) 4 | b) 5 | c) 40 | d) 50 | e) 60
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• Em uma indústria têxtil, a receita na venda de um tipo de toalha é dada por 𝑅(𝑞)= −0,001𝑞²+10𝑞, em que 0≤𝑞≤10.000. Suponha que o custo para a produção das toalhas seja dado por 𝐶(𝑞) = 2𝑞 + 12.000.
a) Obtenha a função Lucro.
b) Obtenha a função Lucro Marginal.
c) Obtenha o lucro marginal aos níveis q = 3.000 e q = 5.000, interpretando os resultados.
d) Obtenha a quantidade que dá o lucro máximo a partir das derivadas do lucro.
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• Em uma fábrica de ventiladores, a receita na venda de um tipo de ventilador é dada por 𝑹(𝒒) = −𝟐𝒒² +𝟖𝟎𝟎𝒒, em que 0≤𝑞≤400. Suponha que o custo para a produção dos ventiladores seja dado por C(q) = 200q + 25.000.
a) Calcule a função Lucro.
b) Calcule a função Lucro Marginal.
c) Calcule o lucro marginal aos níveis q = 100 e q = 200, e interprete os resultados.
d) Obtenha a quantidade que fornece o lucro máximo para a fábrica.
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ELASTICIDADE-PREÇO DA DEMANDA

• A demanda para um certo produto é dada por q=1000-20p, onde o preço varia no intervalo 0≤p≤50.
a) Obtenha a função que dá a elasticidade-preço da demanda para cada preço.
b) Obtenha a elasticidade para os preços p=20, p=25 e p=30.
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a) R$ 195,10.
b) R$ 205,10.
c) R$ 265,10.
d) R$ 300,10.
e) R$ 302,10.

Solução (no vídeo abaixo):

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(a) o custo marginal de quando 3 unidades são produzidas e
(b) o número de unidades produzidas quando o custo marginal e R$ 4,50.

Solução:
Para encontrar a função do custo marginal, vamos derivar a função original. Observe que $$(9\sqrt{2}x^{1/2})’ = \frac{9\sqrt{2}}{2}x^{-1/2}$$, então teremos

\[C_{mg}=(40+3x+9\sqrt{2}x^{1/2})’ = 3 + \frac{9\sqrt{2}}{2}x^{-1/2}.\]

a) Fazendo $$x=32$$, obtemos $$C_{mg}=3+\frac{9\sqrt{2}}{2}32^{-1/2} =  4,125$$ reais.

b) Fazendo $$4,50 = C_{mg}=3+\frac{9\sqrt{2}}{2}x^{-1/2}$$, obtemos

\[x^{-1/2}=\frac{(4,5-3)\cdot 2}{9\sqrt{2}}\Longrightarrow x = 18.\]

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(a) o custo marginal quando 16 litros são produzidos.
(b) e o número de litros produzidos quando o custo marginal é $ 0,40 por litro.

Solução:

Derivando a função custo, obtemos $$C_{mg}=(6+4x^{1/2})’ = 2x^{-1/2}$$.

a) Substituindo $$x=16$$, obtemos $$C_{mg}(16) = 2\cdot 16^{-1/2} = 2\cdot 4^{-1} = 0,5$$ reais por litro.

b) Substituindo $$0,4=C_{mg}=2x^{-1/2}$$, obtemos

\[0,2 = x^{-1/2}\Longrightarrow x = 1/0,2^{2}= 25.\]

Então 25 litros produzidos têm um custo marginal de 0,4 reais por litro.

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Solução (no vídeo abaixo):

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Solução:

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a) Obtenha a função Custo Marginal.

b) Obtenha o custo marginal aos níveis $$q=50, q=100$$ e $$q=150$$, explicando seus significados.

c) Calcule o valor real para produzir a 101ª unidade e compare o resultado com o obtido no item anterior.

Solução:

a) Calcula-se a derivada da função custo, a qual é o custo marginal.

$$\frac{dC}{dq}=C'(q)=(0,02q^{3}-6q^{2}+900q+10000)’=0,06q^{2}-12q+900$$.

b) Calcula-se o valor da função derivada nos pontos requeridos.

$$C'(50) = 0,06\cdot (50)^{2}-12\cdot (50) + 900 = R\$ 450,00$$.

$$C'(100) = 0,06\cdot (100)^{2}-12\cdot (100) + 900 = R\$ 300,00$$.

$$C'(150) = 0,06\cdot (150)^{2}-12\cdot (150) + 900 = R\$ 450,00$$.

c) Calculam-se os custos de 100 e de 101 peças. Depois, faz-se a subtração entre ambos, que fornece o custo de produção da peça de número 101.

$$C(101) =  0,02\cdot (101)^{3}-6\cdot (101)^{2}+900\cdot (101)+10000 = R\$ 50.300,02 + 10.000$$.

$$C(100) = 0,02\cdot (100)^{3}-6\cdot (100)^{2}+900\cdot (100)+10000 = R\$ 50.000,00 + 10.000$$.

Daqui, $$C(101)-C(100)=50300,02 – 50000 = R\$ 300,02$$, que é o custo de produção da 101ª peça. Nota-se que este valor é muito próximo de $$C'(100)$$, de modo a comprovar, experimentalmente, que a função custo marginal ($$C(q)$$) fornece uma boa aproximação para o incremento do custo de produção da peça $$q+1$$.

Referência

Afrânio Carlos Murolo & Giácomo Augusto Bonetto – Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade (2004)

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