Arquivos derivada trigonométrica - Educacional Plenus

Derivada do Seno

Plenus — Thu, 19 May 2022 18:04:41 +0000

Vamos demonstrar que a derivada da função seno é igual à função cosseno.

Solução:

Usamos dois fatos acerca dos limites fundamentais trigonométricos: $$lim_{h\to 0}\frac{sen(h)}{h}=0$$ e $$\lim_{h\to 0}\frac{cos(h)}{h}=1$$.

Lembrando-nos de que $$sen(x+h) = sen(x)cos(h)+sen(h)cos(x)$$ e aplicamos a fórmula no quociente da definição da derivada:

\[\frac{sen(x+h)-sen(x)}{h}=\frac{sen(x)cos(h)+sen(h)cos(x)-sen(x)}{h}=\]

\[sen(x)\frac{cos(h)-1}{h}+cos(x)\frac{sen(h)}{h}.\]

Note que os limites das duas frações acima, quando $$h\to 0$$, existem e praticamente coincidem com os limites fundamentais trigonométricos, então $$sen(x)\lim_{h\to 0}\frac{cos(h)-1}{h}=0$$ e $$cos(x)\lim_{h\to 0}\frac{sen(h)}{h}=cos(x)$$. Podemos, portanto, dizer que existe o limite da definição da derivada, logo

\[sen'(x)=lim_{h\to 0}\frac{sen(x+h)-sen(x)}{h}=\]

\[sen(x)\lim_{h\to 0}\frac{cos(h)-1}{h}+cos(x)\lim_{h\to 0}\frac{sen(h)}{h}=\]

\[0 + cos(x) = cos(x).\]

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Derivada da cotangente

Plenus — Thu, 19 May 2022 17:39:39 +0000

Nesta artigo, vamos calcular a derivada da cotangente, explicitando todas as hipóteses e os passos para chegarmos ao resultado.

Solução:

Pela definição, $$cotg(x)=\frac{1}{tg(x)}$$. Basta aplicarmos a regra de derivação do quociente, sabendo que a derivada da tangente é igual a sec²(x).

Temos, então,

\[cotg'(x)=(\frac{1}{tg(x)})’=\frac{1’\cdot tg(x)-1\cdot tg'(x)}{tg^{2}(x)}=\frac{0\cdot t(x)-1\cdot sec^{2}(x)}{tg^{2}(x)}=\]

\[-\frac{sec^{2}(x)}{tg^{2}(x)}=-\frac{1}{cos^{2}(x)}\cdot\frac{cos^{2}(x)}{sen^{2}(x)}=\]

\[-\frac{1}{sen^{2}(x)}=-cossec^{2}(x).\]

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Derivada da Tangente

Plenus — Thu, 19 May 2022 17:27:39 +0000

Como calcular a derivada da função tangente, usando as derivadas de seno e cosseno e a regra de derivação do quociente? Veja a solução abaixo!

Solução:

Sabemos que $$sen'(x)=cos(x)$$ e $$cos'(x)=-sen(x)$$. Também devemos nos lembrar da identidade fundamental da trigonometria: $$cos^{2}(x)+sen^{2}(x)=1$$.

Como a tangente é definida deste modo: $$tg(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$$, usamos a regra da derivada da divisão, de sorte que

\[tg'(x)=(\frac{sen(x)}{cos(x)})’=\frac{sen'(x)cos(x)-sen(x)cos'(x)}{cos^{2}(x)}=\]

\[\frac{cos^{2}(x)+sen^{2}(x)}{cos^{2}(x)}=\frac{1}{cos^{2}(x)}(*).\]

Na trigonometria, temos a função secante, que é definida como o inverso do cosseno, isto é: $$sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$$. Aplicando tal definição em $$(*)$$, obtemos

\[tg'(x)=\frac{1}{cos^{2}(x)}=(\frac{1}{cos(x)})^{2}=sec^{2}(x).\]

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