Sejam $$u,v\in E$$, vetores linearmente independentes. Dado $$\alpha\neq 0$$, prove que o conjunto de dois elementos $$\{v,v+\alpha u\}$$ é uma base do subespaço gerado pelos vetores $$v,v+u,v+2u,…$$.

Solução:

Podemos escrever os vetores do referido conjunto, para algum$$k\in\mathbb{N}$$, da forma:

\[v+ku=av+b(v+\alpha u)=av+bv+b\alpha u\].

Com os escalares reais $$a$$ e $$b$$.

Deste modo, teremos: $$a+b=1$$ e $$b\alpha = k$$. Isto é, podemos obter, para qualquer $$k\in\mathbb{N}$$ e $$\alpha\neq 0$$, os valores de $$a$$ e $$b$$, bastando resolver o sistema das equações indicadas.

Provamos que o conjunto é gerador, agora precisamos provar que o conjunto é linearmente independente. Com efeito, para termos $$0_{E}=av+bv+b\alpha u=(a+b)v+(b\alpha) u$$, é necessário e suficiente que se tenha $$b=0$$ e $$a+b=0\Longrightarrow a = 0$$, pois $$v$$ e $$u$$ são linearmente independentes.

Portanto  $$\{v,v+\alpha u\}$$ é gerador e tem elementos linearmente independentes, ou seja, o conjunto é uma base do subespaço indicado.

Referências

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Seja $$E=F_{1}\oplus F_{2}$$. Se $$\mathcal{B}_{1}$$ é uma base de $$F_{1}$$, e $$\mathcal{B}_{2}$$ é uma base de $$F_{2}$$, prove que $$\mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2}$$ é uma base de $$E$$.

Solução:

Seja $$\mathcal{B}_{1}=\{w_{1},…,w_{k}\}$$, e seja $$\mathcal{B}_{2}=\{u_{1},…,u_{r}\}$$.

Da hipótese, sabemos que todo vetor $$v$$ de $$E$$ é escrito de maneira única como soma de $$w\in F_{1}$$ e $$u\in F_{2}$$. Assim, podemos escrever:

\[v=w+u=\alpha_{1}w_{1}+…+\alpha_{k}\cdot w_{k}+\beta_{1}u_{1}+…+\beta_{r}u_{r}\].

Vemos que o conjunto $$\mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2}$$ é gerador de $$E$$. Além disso, este é um conjunto linearmente independente, dado que $$F_{1}\cap F_{2}=\{0_{E}\}$$.

Com efeito, suponha que exista uma combinação linear não nula (coeficientes nulos) para

\[\alpha_{1}w_{1}+…+\alpha_{k}w_{k}+\beta_{1}u_{1}+…+\beta_{r}u_{r}=0\].

Rearranjando a equação, obtemos:

\[\alpha_{1}w_{1}+…+\alpha_{k}w_{k}=-\beta_{1}u_{1}-…-\beta_{r}u_{r}=v\].

Como os vetores $$w_{i}$$ e $$u_{j}$$ são linearmente independentes em seus conjuntos, é obrigatório que os coeficientes sejam nulos, a fim de que $$v= 0_{E}$$. Neste caso, temos $$v\neq 0_{E}$$, isto é, existe $$v\in F_{1}\cap F_{2}$$, o que contraria a hipótese da soma direta. Portanto os coeficientes são da forma $$\alpha_{i}=\beta_{j}=0$$, isto é, o conjunto união é linearmente independente.

Referências

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