Solução:

$$H_{A} = 0$$

$$V_{B}\cdot L = M \longrightarrow V_{B} = \frac{M}{L}$$

$$V_{A} + V_{B} = 0 \longrightarrow V_{A} = -\frac{M}{L}$$

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Solução:

$$H_{A} = 0$$

$$\frac{PL}{2} = V_{B}\cdot L \longrightarrow V_{B} = \frac{P}{2}$$

$$V_{A} + V_{B} = P \longrightarrow V_{A} = \frac{P}{2}$$

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A equação diferencial para esse tipo de situação é: \[Cv\frac{\partial^{2} u_{e}}{\partial z^{2}} = \frac{\partial u_{e}}{\partial t}\] O que configura um problema de valor inicial.

Condição inicial:

Em t = 0, todo o excesso de pressão vai para a água, portanto $$u_{e} = 10\, kPa$$.

Condições de contorno:

Em z = 0, temos a camada de areia compacta, portanto o excesso de pressão neutra é zero, já que a água tem saída livre, portanto $$u_{e} = 0$$.

Em z = H, o velocidade da água é zero, pois há rocha impermeável, que impede o fluxo da água. Portanto $$v = -K\frac{\partial u_{e}}{\partial z} = 0 \longrightarrow \frac{\partial u_{e}}{\partial z} = 0$$.

Aplicando o método das diferenças finitas para ambos os lados, temos

$$\frac{\partial^{2} u_{e}}{\partial z^{2}}|_{z_{0}, t} = \frac{u_{e}\, (z_{0}-\Delta z, t) – 2u_{e}\, (z_{0}, t) + u_{e}\, (z_{0}+\Delta z, t)}{\Delta z^{2}}$$, para qualquer t.

$$\frac{\partial u_{e}}{\partial t}|_{z,t_{0}} = \frac{-u_{e}\, (z, t_{0} + u_{e}\, (z, t_{0} +\Delta t)}{\Delta t}$$, para qualquer z.

Chamando: $$z_{0} = z_{i}$$, $$z_{0} – \Delta z = z_{i-1}$$, $$z_{0} + \Delta z = z_{i+1}$$, $$t_{0} = t_{j}$$ e $$t_{0} + \Delta t = t_{j+1}$$, temos, para i = 1, …, n-1 e j = 1, …

$$Cv\frac{u_{e}\, (z_{i-1}, t_{j} – 2u_{e}\, (z_{i}, t_{j}) + u_{e}\, (z_{i+1}, t_{j})}{\Delta z^{2}} = \frac{-u_{e}\, (z_{i}, t_{j}) + u_{e}\, (z_{i}, t_{j+1})}{\Delta t}$$

$$u_{e}\, (z_{i}, t_{j+1}) = Cv\Delta t\frac{u_{e}\, (z_{i-1}, t_{j}) -2u_{e}\, (z_{i}, t_{j}) +u_{e}\, (z_{i+1}, t_{j})}{\Delta z^{2}} + u_{e}\, (z_{i}, t_{j})$$ (método explícito)

Para i = o, temos, para qualquer t, $$u_{e} = 0$$.

Para i = n, precisamos criar um ponto fictício n+1. Assim, temos

$$\frac{\partial u_{e}}{\partial z}|_{z_{n}} = \frac{u_{e}\, (z_{n-1}, t) – u_{e}\, (z_{n+1}, t)}{2\Delta z} = 0 \longrightarrow u_{e}\, (z_{n+1}, t) = u_{e}\, (z_{n-1}, t)$$

Portanto, para i = n temos a seguinte equação

$$u_{e}\, (z_{i}, t_{j+1}) = Cv\Delta t\frac{2u_{e}\, (z_{i-1}, t_{j}) – 2u_{e}\, (z_{i}, t_{j})}{\Delta z^{2}} + u_{e}\, (z_{i}, t_{j})$$

Para o método explícito existe uma restrição para que ele se mantenha estável:

$$r = \frac{Cv\Delta t}{\Delta z^{2}}\leq \frac{1}{2}$$

Adotando $$\Delta z = 1\, m$$, temos que $$\Delta t_{max}\leq 1,09\cdot 10^{5}\, min \cong 2,52\, meses$$.

Portanto, iremos adotar $$\Delta t = 1\, m\hat{e} s = 43200\, min$$.

Adotando n = 10, podemos resolver o problema no excel inserindo as equações acima e os dados do problema, como mostra a figura abaixo.

Para encontrar em quanto tempo o adensamento se completa, basta puxar as linhas em direção de t até que toda a coluna de z = 0 a 10 fique com $$u_{e} = 0$$.

Porcentagem média de adensamento: é a porcentagem do adensamento total que aconteceu em certo tempo. Para esse cálculo, precisamos da seguinte equação:

$$U = \frac{u_{e}\, (0) – u_{e}\, (t)}{u_{e}\, (0)} \longrightarrow U = \frac{\int ^{H} _{0} [u_{e}\, (0) – u_{e}\, (t)] dz}{\int ^{H} _{0} u_{e}\, (0)} \longrightarrow U = \frac{qH – \int ^{H} _{0} u_{e}\, (t) dz}{qH} \longrightarrow U = 1 – \frac{\int ^{H} _{0} u_{e}\, (t) dz}{qH}$$

Utilizando a regra do trapézio, temos

$$\int ^{H} _{0} u_{e}\, (t) dz = \frac{u_{e_{0}} + u_{e_{1}}}{2}\Delta z + … +\frac{u_{e_{n-1}} + u_{e_{n}}}{2}\Delta z \longrightarrow \int ^{H} _{0} u_{e}\, (t) dz = \frac{\Delta z}{2}(u_{0} + 2u_{1} +…+2u_{n-1} + u_{n})$$

Portanto, temos a seguinte porcentagem média de adensamento para cada tempo:

$$U = 1 – \frac{\Delta z}{2qH}(u_{0}+2u_{1}+…+2u_{n-1}+u_{n})$$

Podemos também calcular o fator tempo:

$$T = \frac{Cv\cdot t}{H_{d}^{2}}$$

A figura abaixo mostra esses cálculos para o nosso exemplo. Neste caso, $$H_{d} = H$$, pois temos uma das faces impermeável. 

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Questão 4

O peso específico natural de um solo é 21,8 kN/m³ e seu peso específico seco é 18,6 kN/m³. Sabendo que o índice de vazios desse solo é igual a 0,48, obter:
(a) o teor de umidade
(b) o grau de saturação
(c) o peso específico saturado
(d) o peso específico dos sólidos

a) O teor da umidade pode ser obtido a partir da relação existente entre o peso específico natural e o seco. \[\gamma_{d} = \frac{\gamma}{1+w} \longrightarrow 18,6 = \frac{21,8}{1+w} \longrightarrow w = 17,20\,

b) O grau de saturação é \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}}\] A partir dessa definição, vamos chegar em uma relação entre o grau de saturação e os dados que temos. \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}} \longrightarrow Sr = \frac{P_{w}}{\gamma_{w} V_{v}} \longrightarrow Sr = \frac{P_{w}}{\gamma_{w} e V_{s}} \longrightarrow Sr = \frac{w P_{s}}{\gamma_{w} e V_{s}} \longrightarrow Sr = \frac{w\gamma_{s}}{\gamma_{w} e}\] O peso específico da água, sabemos que é $$\gamma_{w} = 10\, kN/m^{3}$$. O peso específico dos sólidos podemos encontrar através do índice de vazios: \[e = \frac{\gamma_{s} (1+w)}{\gamma} – 1 \longrightarrow e = \frac{\gamma_{s} (1+0,172}{21,8} \longrightarrow \gamma_{s} = 27,53\, kN/m^{3}\] Agora podemos calcular o grau de saturação: \[Sr = \frac{w\gamma_{s}}{\gamma_{w} e} \longrightarrow Sr = \frac{0,172\cdot 27,53}{10\cdot 0,48} \longrightarrow Sr = 98,65\,

c) Aqui, precisamos encontrar o peso específico saturado \[\gamma_{sat} = \frac{P_{s}+V_{v}\gamma_{w}}{V} \longrightarrow \gamma_{sat} = \frac{P_{s}}{V} + \frac{V_{v}\gamma_{w}}{V} \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \frac{(V – V_{s})\gamma_{w}}{V} \longrightarrow\] \[\gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} -\gamma_{w}\frac{V_{s}}{V} \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} – \frac{\gamma_{w}}{e}\frac{V_{v}}{V} \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} – \frac{\gamma_{w}}{e}\frac{V_{v}}{P_{s}}\gamma_{d} \longrightarrow\] \[\gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w}  – \frac{\gamma_{w}}{e}\frac{V_{v}}{P_{w}}\gamma_{d} w \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} – \frac{V_{v}}{e}\frac{\gamma_{d} w}{V_{w}} \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} – \frac{\gamma_{d} w}{e Sr} \longrightarrow\] \[\gamma_{sat} = 18,6 + 10 – \frac{18,6\cdot 0,172}{0,48\cdot 0,987} \longrightarrow \gamma_{sat} = 21,85\, kN/m^{3}\]

d) O peso específico dos sólidos foi calculado no item b): \[e = \frac{\gamma_{s} (1+w)}{\gamma} – 1 \longrightarrow e = \frac{\gamma_{s} (1+0,172}{21,8} \longrightarrow \gamma_{s} = 27,53\, kN/m^{3}\]

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Questão 3

36 g de uma amostra de areia, confinada num recipiente, tem 74,5% de grau de saturação e ocupa um volume de 19 cm³. Após a secagem do solo em estufa a sua massa passou para 31 g. Obter:
(a) o peso específico natural
(b) a peso específico aparente seco
(c) o peso específico saturado
(d) o índice de vazios
(e) o peso específico dos sólidos

a) Para calcular o peso específico natural, basta dividir a massa úmida pelo volume total: \[\gamma = \frac{M}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{36}{19} \longrightarrow \gamma = 1,89\, g/cm^{3} = 18,9\, kN/m^{3}\]

b) O peso específico aparente seco é calculado dividindo a massa seca pelo volume total. \[\gamma _{d} = \frac{M_{s}}{V} \longrightarrow \gamma _{d} = \frac{31}{19} \longrightarrow \gamma _{d} = 1,63\, g/cm^{3} = 16,3\, kN/m^{3}\]

c) O peso específico saturado é calculado da seguinte forma: \[\gamma _{sat} = \frac{M_{s}+V_{v}\cdot\gamma_{w}}{V}\] Primeiro precisamos da massa de água: $$M_{w} = M – M_{s} = 36 – 31 = 5\, g$$ Sabendo que o peso específico da água é 1 g/cm³, temos o volume de água $$\gamma_{w} = \frac{M_{w}}{V_{w}} \longrightarrow 1 = \frac{5}{V_{w}} \longrightarrow V_{w} = 5\, cm^{3}$$.

Agora precisamos calcular o volume de vazios, que pode ser encontrado pelo grau de saturação: $$Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}} \longrightarrow 0,745 = \frac{5}{V_{v}} \longrightarrow V_{v} = 6,71\, cm^{3}$$.

Finalmente, podemos encontrar o peso específico saturado. \[\gamma _{sat} = \frac{31+6,17\cdot 1}{19} \longrightarrow \gamma_{sat} = 1,98\, g/cm^{3} = 19,8\, kN/m^{3}\]

d) Para calcular o índice de vazios, já temos o volume de vazios, só precisamos do volume de sólidos: $$V_{s} = V – V_{v} = 19 – 6,71 = 12,29\, cm^{3}$$. Agora é só calcular o índice de vazios. \[e = \frac{V_{v}}{V_{s}} \longrightarrow e = \frac{6,71}{12,29} \longrightarrow e = 0,546\]

e) Para o cálculo do peso específico dos sólidos, basta dividir a massa seca pelo volume de sólidos. \[\gamma_{s} = \frac{M_{s}}{V_{s}} \longrightarrow \gamma_{s} = \frac{31}{12,29} \longrightarrow \gamma_{s} = 2,52\, g/cm^{3} = 25,2\, kN/m^{3}\]

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Questão 2

Um bloco indeformado de argila, com peso específico natural de 19,1 kN/m³ e teor de umidade de 29% apresenta um peso específico dos sólidos igual a 26,9 kN/m³. Para esse solo determinar:
(a) o peso específico aparente seco
(b) o índice de vazios
(c) a porosidade
(d) o grau de saturação

a) Com apenas três valores, podemos encontrar todos os outros índices físicos por correlação. Nesse item, vamos deduzir a correlação para o peso específico aparente seco, cuja definição é \[\gamma _{d} = \frac{M_{s}}{V}\] Partido do teor de umidade temos \[w = \frac{M_{w}}{M_{s}} \longrightarrow M_{s} = \frac{M_{w}}{w}\] Sabemos que \[M_{w} = M – M_{s} \longrightarrow M_{w} = \gamma V – M_{s}\] Substituindo na primeira equação temos \[M_{s} = \frac{\gamma V – M_{s}}{w} \longrightarrow M_{s} w = \gamma V – M_{s} \longrightarrow M_{s} w + M_{s} = \gamma V \longrightarrow M_{s} (1+w) = \gamma V\] \[\longrightarrow \frac{M_{s}}{V} = \frac{\gamma}{1+w} \longrightarrow \gamma _{d} = \frac{\gamma}{1+w}\] Chegamos a uma correlação, agora basta substituir os valores do enunciado. \[\gamma _{d} = \frac{19,1}{1+0,29} \longrightarrow \gamma _{d} = 14,8\, kN/m^{3}\]

b) Para o índice de vazios, usaremos o mesmo raciocínio anterior. Sabendo que \[e = \frac{V_{v}}{V_{s}}\] podemos desenvolver uma correlação. Vamos partir do peso específico natural. \[\gamma = \frac{M}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{M_{w} + M_{s}}{V_{v} + V_{s}} \longrightarrow \gamma = \frac{wM_{s} + M_{s}}{V_{v} + V_{s}} \longrightarrow \gamma (V_{v} + V_{s}) = M_{s} (1+w) \longrightarrow\] \[\gamma V_{v} + \gamma V_{s} = \gamma _{s} V_{s} (1+w) \longrightarrow \gamma V_{v} = \gamma _{s} V_{s} + \gamma _{s} V_{s} w – \gamma V_{s} \longrightarrow \gamma V_{v} = V_{s} (\gamma _{s} + \gamma _{s} w – \gamma) \longrightarrow\] \[\frac{V_{v}}{V_{s}} = \frac{\gamma _{s} (1+w)}{\gamma} – 1 \longrightarrow e = \frac{\gamma _{s} (1+w)}{\gamma} – 1\] Com a correlação feita, podemos substituir os valores do enunciado. \[e = \frac{26,9 (1+0,29)}{19,1} – 1 \longrightarrow e = 0,817\]

c) A porosidade é definida como \[m = \frac{V_{v}}{V}\] Podemos encontrar uma correlação de m com os valores do enunciado. Partindo do peso específico natural, temos \[\gamma = \frac{M}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{M_{w} + M_{s}}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{wM_{s} + M_{s}}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{\gamma _{s} V_{s} (1+w)}{V} \longrightarrow\] \[\gamma V = \gamma _{s} (V – V_{v}) (1+w) \longrightarrow \gamma V = (\gamma _{s} V – \gamma _{s} V_{v}) (1+w) \longrightarrow \gamma V = \gamma _{s} V (1+w) – \gamma _{s} V_{v} (1+w) \longrightarrow\] \[\gamma _{s} V_{v} + \gamma _{s} V_{v} w = \gamma _{s} V + \gamma _{s} w V – \gamma V \longrightarrow V_{v} (\gamma _{s} + \gamma _{s} w) = V (\gamma _{s} +\gamma _{s} w – \gamma) \longrightarrow \frac{V_{v}}{V} = \frac{\gamma _{s} + \gamma _{s} w – \gamma}{\gamma _{s} + \gamma _{s} w}\] \[\longrightarrow m = \frac{\gamma _{s} (1+w) – \gamma}{\gamma _{s} (1+w)} \longrightarrow m = 1 – \frac{\gamma}{\gamma _{s} (1+w)}\] Agora que encontramos a correlação, é só substituir os valores. \[m = 1 – \frac{19,1}{26,9 (1+0,29)} \longrightarrow m = 44,96\

d) O grau de saturação é definido por \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}}\] Nesse caso, precisaremos do índice de vazios para fazer a correlação. Partido do próprio grau de saturação \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}} \longrightarrow Sr = \frac{M_{w}}{\gamma _{w}}\frac{1}{e V_{s}} \longrightarrow \frac{w M_{s}}{\gamma _{w} e V_{s}} \longrightarrow Sr = \frac{w\gamma_{s}}{\gamma _{w} e}\] Agora basta substituir os valores \[Sr = \frac{0,29\cdot 26,9}{10\cdot 0,817} \longrightarrow Sr = 95,48\

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Questão 1

Uma amostra de solo úmido, com um volume de 598 cm³ tem uma massa de 1010 g. Depois de seca em estufa, a massa da amostra passou para 918 g. Sabendo que o peso específico dos sólidos é 26,7 kN/m³, calcular:
(a) o índice de vazios da amostra
(b) a porosidade da amostra
(c) o teor de umidade da amostra
(d) o grau de saturação da amostra
(e) o peso específico natural da amostra

a) Sabemos que o índice de vazios é \[e = \frac{V_{v}}{V_{s}}\] Precisamos então encontrar esses valores. Podemos encontrar o $$V_{s}$$ através da equação \[\gamma _{s} = \frac{M_{s}}{V_{s}} \longrightarrow 26,7\cdot 10^{3} = \frac{0,918\cdot 10}{V_{s}} \longrightarrow V_{s} = 3,43\cdot 10^{-4}\, m^{3}\] Agora podemos obter $$V_{v}$$ da seguinte forma \[V = V_{v} + V_{s} \longrightarrow 5,98\cdot 10^{-4} = V_{v} + 3,43\cdot 10^{-4} \longrightarrow V_{v} = 2,55\cdot 10^{-4}\, m^{3}\] Agora podemos encontrar o índice de vazios \[e = \frac{V_{v}}{V_{s}} \longrightarrow e = \frac{2,55\cdot 10^{-4}}{3,43\cdot 10^{-4}} \longrightarrow e = 0,743\]

b) A porosidade pode ser calculada por \[m = \frac{V_{v}}{V}\] Já temos os valores, basta substituir na equação \[m = \frac{2,55\cdot 10^{-4}}{5,98\cdot 10^{-4}} \longrightarrow m = 42,64\

c) O teor de umidade é definido como \[w = \frac{M_{w}}{M_{s}}\] Precisamos então da massa de água, que pode ser calculada pela diferença entre a massa úmida e a massa seca do solo \[M_{w} = M – M_{s} \longrightarrow M_{w} = 1010 – 918 \longrightarrow M_{w} = 92 g\] Agora, juntamente com a massa de sólidos, ou massa de solo seco, basta substituir na equação \[w = \frac{92}{918} \longrightarrow w = 10,92\

d) O grau de saturação é \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}}\] Já temos o volume de vazios, precisamos encontrar o volume de água. Sabemos que o peso específico da água é $$\gamma _{w} = 1\, g/cm^{3}$$, então \[1 = \frac{92}{V_{w}} \longrightarrow V_{w} = 92\, cm^{3} = 0,92\cdot 10^{-4}\, m^{3}\] Agora podemos calcular o grau de saturação \[Sr = \frac{0,92\cdot 10^{-4}}{2,55\cdot 10^{-4}} \longrightarrow Sr = 36,08\

e) O peso específico natural é simplesmente a massa úmida dividida pelo volume total. Então \[\gamma = \frac{M}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{1,01\cdot 10^{-2}}{598\cdot 10^{-6}} \longrightarrow \gamma = 16,89\, kN/m³\]

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Questão 1

Solo natural: γ = 16 kN/m³; w = 10%

Solo compactado: $$\gamma_{dmax} = 18 kN/m^{3}$$; $$w_{ot} = 17\

a) Solo natural: $$\gamma_{d} = \frac{\gamma}{1+w} \longrightarrow \gamma_{d} = \frac{16}{1+0,1} \longrightarrow \gamma_{d} = 14,55\, kN/m^{3}$$

$$\gamma_{d} = \frac{P_{s}}{V_{c}} \longrightarrow 14,55 = \frac{P_{s}}{V_{c}} \longrightarrow P_{s} = 14,55V_{c}$$

Solo compactado: $$\gamma_{dmax} = \frac{P_{s}}{V_{a}} \longrightarrow 18 = \frac{P_{s}}{V_{a}} \longrightarrow P_{s} = 18V_{a}$$

$$14,55V_{c} = 18V_{a}$$

$$\frac{7}{100} = \frac{x}{y} \longrightarrow y = \frac{100x}{7}$$

$$V_{a} = \frac{50xy}{2} \longrightarrow V_{a} = 100\cdot x^{2}\cdot 25$$

$$V_{c} = \frac{(7-x)(100-y)50}{2} \longrightarrow V_{c} = 25\frac{4900 – 1400x – 100x^{2}}{7}$$

$$25\frac{14,55}{7}(4900 – 1400x – 100x^{2}) = 25\cdot 18\cdot 100x^{2} \longrightarrow x = 1,64\, m$$

$$V_{c} = 25\frac{4900 – 1400\cdot 1,64 – 100\cdot 1,64^{2}}{7} \longrightarrow V_{c} = 8339,43\, m^{3}$$

b) $$P_{s} = 14,55 V_{c} \longrightarrow P_{s} = 14,55\cdot 8339,43 \longrightarrow P_{s} = 121338,71\, kN$$

Solo natural: $$w = \frac{P_{wc}}{P_{s}} \longrightarrow 0,1 = \frac{P_{wc}}{121338,71} \longrightarrow P_{wc} = 12133,87\, kN$$

Solo compactado: $$w_{ot} = \frac{P_{wa}}{P_{s}} \longrightarrow 0,17 = \frac{P_{wa}}{121338,71} \longrightarrow P_{wa} = 20627,58\, kN$$

$$\Delta V = \frac{P_{wa} – P_{wc}}{\gamma_{w}} \longrightarrow \Delta V = \frac{20627,58 – 12133,87}{10} \longrightarrow \Delta V = 849,37\, m^{3}$$

c) x = 1,64 m, como calculado no item (a).

Questão 2

Curva de compactação para certo nível de energia

a) Curva de compactação para determinada umidade

b) Curva de saturação para o item (a)

c) Curva de compactação para determinado peso específico seco

Questão 3

Ponto A: γ = 19 kN/m³

Para A1:

$$\sigma_{z1} = \frac{\bar{q}}{b\pi}\frac{b(b-x)z + x((b-x)^{2}+z^{2})}{(b-x)^{2} + z^{2}}(\arctan(\frac{b-x}{z}) + \arctan(\frac{x}{z}))$$

$$\sigma_{z1} = \frac{142,5}{7,5\pi}\frac{7,5(7,5-7,5)7,5 + 7,5((7,5-7,5)^{2} +7,5^{2})}{(7,5-7,5)^{2} + 7,5^{2}}(\arctan(\frac{7,5-7,5}{7,5}) + \arctan(\frac{7,5}{7,5}))$$

$$\sigma_{z1} = 35,63\, kN/m^{2}$$

Para A2:

$$\alpha = \arctan(\frac{b}{z}) \longrightarrow \alpha = \arctan(\frac{10}{7,5})$$

β = 0

$$\sigma_{z2} = \frac{q}{\pi}(\alpha + \sin\alpha\cos(\alpha + 2\beta))$$

$$\sigma_{z2} = \frac{142,5}{\pi}(\arctan(\frac{10}{7,5}) + \sin(\arctan(\frac{10}{7,5}))\cos(\arctan(\frac{10}{7,5}) + 2\cdot 0))$$

$$\sigma_{z2} = 63,83\, kN/m^{2}$$

Para A3:

$$\sigma_{z3} = \frac{142,5}{7,5\pi}\frac{7,5(7,5-17,5)7,5 + 17,5((7,5-17,5)^{2} +7,5^{2})}{(7,5-17,5)^{2} + 7,5^{2}}(\arctan(\frac{7,5-17,5}{7,5}) + \arctan(\frac{17,5}{7,5}))$$

$$\sigma_{z3} = 20,06\, kN/m^{2}$$

$$\sigma_{zT} = \sigma_{z1} + \sigma_{z2} + \sigma_{z3} \longrightarrow \sigma_{zT} = 35,63 + 63,83 + 20,06 \longrightarrow \sigma_{zT} = 119,52\, kN/m^{2}$$

Ponto B: γ = 19 kN/m³

Para A1/A3:

$$\sigma_{z1} = \sigma_{z3} = \frac{142,5}{7,5\pi}\frac{7,5(7,5-12,5)7,5 + 12,5((7,5-12,5)^{2}+7,5^{2})}{(7,5-12,5)^{2} + 7,5^{2}}(\arctan(\frac{7,5-12,5}{7,5}) + \arctan(\frac{12,5}{7,5}))$$

$$\sigma_{z1} = \sigma_{z3} = 24,18\, kN/m^{2}$$

Para A2:

$$\alpha = 2\arctan(\frac{b}{2z}) \longrightarrow \alpha = 2\arctan(\frac{10}{2\cdot 7,5}) \longrightarrow \alpha = 2\arctan(\frac{10}{15})$$

$$\sigma_{z2} = \frac{q}{\pi}(\alpha + \sin\alpha)$$

$$\sigma_{z2} = \frac{142,5}{\pi}(2\arctan(\frac{10}{15}) + \sin(2\arctan(\frac{10}{15}))$$

$$\sigma_{z2} = 95,21\, kN/m^{2}$$

$$sigma_{zT} = \sigma_{z1} + \sigma_{z2} + \sigma_{z3} \longrightarrow \sigma_{zT} = 2\cdot 24,18 + 95,21 \longrightarrow \sigma_{zT} = 143,57\, kN/m^{2}$$

Questão 4

Solo 1: $$e = \frac{\gamma_{s}(1+w)}{\gamma} – 1 \longrightarrow 0,72 = \frac{27(1+0,16)}{\gamma} – 1 \longrightarrow \gamma = 18,21\, kN/m^{3}$$

Solo 1 (saturado): $$S = \frac{w\gamma_{s}}{e\gamma_{w}} \longrightarrow 1 = \frac{w\cdot 27}{0,72\cdot 10} \longrightarrow w = 0,27$$

$$\gamma_{d} = \frac{\gamma}{1+w} \longrightarrow \gamma_{d} = \frac{18,21}{1+0,27} \longrightarrow \gamma_{d} = 14,34\, kN/m^{3}$$

$$n = 1 – \frac{\gamma}{\gamma_{s}(1+w)} \longrightarrow n = 1 – \frac{18,21}{27(1+0,27)} \longrightarrow n = 0,47$$

$$\gamma_{sat} = \gamma_{d} + n\gamma_{w} \longrightarrow \gamma_{sat} = 14,34 + 0,47\cdot 10 \longrightarrow \gamma_{sat} = 19,04\, kN/m^{3}$$

Solo 2: $$\gamma_{sat} = \gamma_{d} + n\gamma_{w} \longrightarrow \gamma_{sat} = 15 + 0,17\cdot 10 \longrightarrow \gamma_{sat} = 16,7\, kN/m^{3}$$

Tensões totais verticais

$$\sigma_{zA} = 80\, kN/m^{2}$$

$$\sigma_{zB} = 80 + 18,21\cdot 1,5 + 19,04\cdot 1,5 \longrightarrow \sigma_{zB} = 135,88\, kN/m^{2}$$

$$\sigma_{zC} = 80 + 18,21\cdot 1,5 + 19,04\cdot 1,5 + 16,7\cdot 4,5 \longrightarrow \sigma_{zC} = 211,03\, kN/m^{2}$$

Tensões efetivas verticais

$$\sigma_{zA}’ = 80\, kN/m^{2}$$

$$\sigma_{zB}’ = 80 + 18,21\cdot 1,5 + (19,04 – 10)\cdot 1,5 \longrightarrow \sigma_{zB}’ = 120,88\, kN/m^{2}$$

$$\sigma_{zC}’ = 80 + 18,21\cdot 1,5 +(19,04 – 10)\cdot 1,5 + (16,7 – 10)\cdot 4,5 \longrightarrow \sigma_{zC}’ = 151,03\, kN/m^{2}$$

Tensões efetivas horizontais

$$\sigma_{xA}’ = 0,5\cdot 80 \longrightarrow \sigma_{xA}’ = 40\, kN/m^{2}$$

$$\sigma_{xB}’ = 0,5\cdot 120,88 \longrightarrow \sigma_{xB}’ = 60,44\, kN/m^{2}$$

$$\sigma_{xC}’ = 0,4\cdot 151,03 \longrightarrow \sigma_{xC}’ = 60,41\, kN/m^{2}$$

Tensões totais horizontais

$$\sigma_{xA} = 0,5\cdot 80 \longrightarrow \sigma_{xA} = 40\, kN/m^{2}$$

$$\sigma_{xB} = 0,5\cdot 120,88 + 10\cdot 1,5 \longrightarrow \sigma_{xB} = 75,44\, kN/m^{2}$$

$$\sigma_{xC} = 0,4\cdot 151,03 + 10\cdot 6 \longrightarrow \sigma_{xC} = 120,41\, kN/m^{2}$$

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