Solução:

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Solução:
A equação 3x+y=3 tem coeficiente angular m_s = -3. Como é perpendicular à reta r, teremos $$m_{r}\cdot m_{s}=-1$$, donde tiramos que $$m_{r}=\frac{1}{3}$$.

A fim de que seja tangente ao gráfico, teremos $$f'(x_{0})=3x_{0}^{2}=\frac{1}{3}$$, donde teremos $$x_{0}=\pm\frac{1}{3}$$.

(I) No caso $$x_{0}=\frac{1}{3}$$, $$f(\frac{1}{3})=\frac{1}{27}$$, então a equação da reta tangente a esse ponto é

\[y-\frac{1}{27}=\frac{1}{3}(x-\frac{1}{3}).\]

(II) No caso $$x_{0}=-\frac{1}{3}$$, $$f(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{27}$$, então a equação da reta tangente a esse ponto é

\[y+\frac{1}{27}=\frac{1}{3}(x+\frac{1}{3}).\]

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Solução:

A derivada da função fornece o coeficiente angular da reta tangente. Sabemos que $$f'(x) = 3x^{2}-4$$. Um ponto qualquer que satisfaz a equação da reta tangente é x₀, então $$f'(x_{0}) = 3x^{2}_{0}-4 = \beta$$. O ponto y₀ que pertence à reta tangente e à curva é $$y_{0} = x^{3}_{0}-4x_{0}$$.

Lembre-se de que $$y=y_{0}+m(x-x_{0})$$. A fim de que a reta fornecida seja igual à reta tangente, devemos ter

\[\beta x – 2 = y_{0} + \beta(x-x_{0}).\]

Daqui, temos

\[\beta x – 2 = x^{3}_{0}-4x_{0} + \beta x -\beta x_{0}\Longrightarrow\]

\[-2 = x^{3}_{0}-4x_{0} -(3x^{2}_{0}-4)x_{0}= \]

\[-2 = x^{3}_{0}-4x_{0}-3x^{3}_{0}+4x_{0}\Longrightarrow\]

\[-2 = -2x_{0}^{3}\Longrightarrow x_{0}=1.\]

Consideramos apenas raízes reais da equação $$x_{0}^{3}=1$$.

Como $$3x^{2}_{0}-4 = \beta$$, temos $$\beta = 3\cdot 1 – 4 = -1$$.

A equação da reta tangente é $$y=-x-2$$.

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Solução:

Sabemos que o coeficiente angular em $$x=2$$ é $$f'(2)$$. Calculando a derivada, temos $$f'(x) = (x^{2})’=2x’$$, e, com $$x=2$$, $$f'(2)=4$$.

Além disso, $$f(2) = 2^{2}=4$$.

A equação da reta é $$y-f(2)=f'(2)(x-2)$$, que implica

\[y = 4x-8 + 4 = 4x-4.\]

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a)y=∜x                                (1,1)

b) $$y=x^{4}+2x^{2}-x$$           (1,2)

Solução:

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