\[\left\{\begin{array}{l}
-x+2y=0\\
mx+ny=1.
\end{array}\right.
,\]

em que m e n são números reais. A figura ilustra uma representação gráfica desse sistema num plano cartesiano.

• CORREÇÃO CEFET-MG 2024

O valor de m+n é igual a
A) – 2
B) – 1
C) 2
D) 3

Gabarito: b)
Solução (no vídeo abaixo):

O post Considere o sistema de equações lineares apareceu primeiro em Educacional Plenus.

• Veja a correção de mais questões da UNIVESP 2023

a) y = 2x+3
b) y = 3x-2
c) y = x+4
d) y = x/5
e) y = 2x+5

Gabarito: a)
Solução (no vídeo abaixo):

O post UNIVESP 2023 – Questão 4 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) uma reta.
b) duas retas.
c) quatro retas.
d) uma parábola.
e) duas parábolas.

Solução:
Resolvendo, por Bháskara, a equação do segundo grau, obtemos

\[t=\frac{1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot(-6)}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}.\]

As soluções possíveis são $$t=3$$ ou $$t=-2$$. Como $$t=|x-y|$$, só podemos tomar o valor $$t=3$$, uma vez que o módulo sempre resulta em um número positivo. Assim, teremos duas possibilidades: x-y = 3 ou y-x = 3, duas equações de reta. O conjunto de pontos é a união de duas retas no plano cartesiano.

O post FUVEST – O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A) paralelas, se m = 3 e k = –3.
B) coincidentes, se m = 3 e k ≠ –3.
C) concorrentes, se m ≠ 3, k ∈ R.
D) concorrentes, se k = –3, m ∈ R.
E) paralelas, se m = 3, k ∈ R.

Solução:
1) Colocamos a reta r na forma reduzida: dado que mx + y – 3 = 0, temos $$y = -mx – 3$$.
2) Dado que 3x + y + k = 0, a sua forma reduzida é y = -3x-k.

3) Se $$m\neq 3$$ e $$k$$ for um número real qualquer, essas retas terão apenas um ponto em comum, isto é: serão retas concorrentes.
Resposta: c)

O post Retas – Exercício 12 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) –12
b) – 6
c) 6
d) 18
e) 12
Gabarito: e)
Solução:

O post Retas – Exercício 9 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A) k – 1
B) –k – 1
C) k + 1
D) k
E) 1/k + 1

Solução:

O coeficiente angular é dado por

\[m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-X_{A}}=\frac{0-k}{k-0}=-1.\]

Da equação geral da reta,

\[y-y_{B}=m(x-x_{B})\Longrightarrow\]

\[y-0=(-1)(x-k)\Longrightarrow\]

\[y=-x+k.\]

O coeficiente linear é $$k$$, portanto a soma é $$-1+k=k-1$$.

O post Retas – Exercício 8 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) (3/4; 0)
b) (2/5; 0)
c) (0; 0)
d) (–1/2; 0)
e) (–2/3; 0)

Solução:
Um ponto de intersecção é exatamente (0,2), o ponto em que a reta intercepta o eixo das ordenadas. O outro ponto é o vértice da parábola.

i) Pela fórmula das coordenadas do vértice,

\[x_{v}=\frac{-(-6)}{2\cdot 3}=1,\; \text{e}\]

\[y_{v}=-\frac{(-6)^{2}-4\cdot 3\cdot 8}{4\cdot 3} = 5.\]

Isso fornece o ponto (1,5).

ii) O coeficiente angular será

\[m=\frac{5-2}{1-0}=3.\]

iii) A equação da reta será

\[y-2 = 3 (x-0).\]

iv) O ponto de intersecção da reta com a abcissa tem coordenada $$y=0$$, logo

\[0-2=3\cdot x \Longrightarrow x=-2/3.\]

Resposta: e)

O post Retas – Exercício 7 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A distância entre os pontos A e B é:

Solução:

i. Calculamos o coeficiente angular da reta, usando os pontos de coordenadas conhecidas:

\[m=\frac{4-(-8)}{-6-3}=\frac{12}{-9}=-\frac{4}{3}.\]

ii. Escolhemos o ponto (-6,4) e formamos a equação da reta

\[y-4=\frac{4}{3}(-6 – x).\]

iii. O ponto A tem coordenada $$y=0$$, então $$-4=\frac{4}{3}(-6-x)$$, donde encontramos $$x = -3$$. O ponto B tem coordenada $$x=0$$, donde encontramos $$y=\frac{4}{3}(-6-0)+4$$ e $$y=-4$$.

iv) Finalmente, calculamos a distância entre os pontos A e B, a partir de suas coordenadas:

\[d^{2}_{AB}=(-3-0)^{2}+(0-(-4))^{2}=25.\]

Concluímos, portanto, que $$d_{AB}=5$$.

O post Retas – Exercício 6 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) x + y – 2 = 0
b) x + 2y = 0
c) 2x – y – 1 = 0
d) 2x – 2y – 3 = 0
e) 2x + 2y – 1 = 0

Solução:

A figura abaixo representa o triângulo formado.

Por se tratar de um triângulo isósceles, os comprimentos dos segmentos que pertencem aos respectivos eixos coordenados têm a mesma medida, o que justifica (L,0) e (0,L). Assim, o coeficiente angular da reta que intercepta os dois pontos em questão é dado por

\[m=\frac{L-0}{0-L}=\frac{L}{-L}=-1.\]

Como a reta também intercepta o ponto (1,1), sua equação geral será

\[y-1=(-1)(x-1)\Longrightarrow y + x – 2=0.\]

O post Retas – Exercício 5 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 2x + y + 3 = 0
b) 2x + y – 3 = 0
c) x – y + 3 = 0
d) x + y – 3 = 0
e) x – 2y – 3 = 0

Solução:

O coeficiente angular da reta BC é dado por

\[m=\frac{y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}= \frac{3-1}{0-2}=\frac{2}{-2}=-1. \]

A equação geral da reta é dada por

\[y-y_{0}=m(x-x_{0}).\]

Podemos escolher qualquer um dos pontos dados para substituir em $$x_{0}$$ e $$y_{0}$$. Escolhendo B, temos

\[y-3=(-1)\cdot (x-0)\Longrightarrow x+y-3=0.\]

O post Retas – Exercício 4 apareceu primeiro em Educacional Plenus.