Solução:
Multiplicamos a primeira fração por $$3$$, de modo que $$\frac{a}{3}=\frac{3\cdot a}{3\cdot 11}=\frac{3a}{33}$$. Multiplicamos a segunda fração por $$11$$, então obtemos $$\frac{b}{11}=\frac{11b}{11\cdot 3}=\frac{11b}{33}$$.

Somando as duas frações, obtemos

\[\frac{3a+11b}{33}=\frac{31}{33}.\]

Como a fração à direita é irredutível, teremos $$3a+11b=31$$. Essa equação diofantina tem solução, pois $$mdc(3,11)=1$$. Observe que só podemos ter $$b=1$$ ou $$b=2$$. Escolhendo $$b=2$$, teremos $$a=3$$, donde concluímos que $$3\cdot 3 + 11\cdot 2 = 9 + 22 = 31$$.

Daqui, $$a+b=5$$.

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Solução:
Para somarmos as duas frações precisamos multiplicá-las por algum múltiplo comum de seus respectivos denominadores. Como não conhecemos os valores, o múltiplo comum será o fator $$bd$$. Assim,

\[\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{d}=\frac{ad}{bd}\text{ e}\]

\[\frac{c}{d}\cdot\frac{b}{b}=\frac{bc}{bd}.\]

Somando as duas frações, teremos a expressão

\[\frac{ad+bc}{bd}=\frac{29}{30}.\]

Temos uma fração irredutível. Observe que $$bd = 30$$, mas, como $$b,d\in\{1,…,9\}$$, teremos apenas duas opções: $$b=5$$ e $$c=6$$, ou $$b=6$$ e $$c=5$$.

No primeiro caso, teremos $$6a+5b = 29$$. Se colocarmos $$a=4$$ e $$b=1$$, teremos $$6\cdot 4 + 5\cdot 1 = 29$$, que é uma solução da equação diofantina. Se quisermos $$b=6$$ e $$c=5$$, teremos a mesma solução, apenas trocando $$a$$ e $$c$$.

Desse modo, a soma $$a+b+c+d = 4 + 5 + 1 + 6 = 16$$.

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