Resposta: 72. Resumo: A solução é encontrada aplicando as relações de soma e produto. Primeiro, determinam-se as raízes (3/4 e 3/2) usando a soma (9/4) e a condição de que uma é o dobro da outra. Por fim, o valor de m é o produto das raízes (9/8), resultando no produto final entre numerador e denominador, que é 72.

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a) 134.
b) 148.
c) 156.
d) 187.

Gabarito: a)
Solução (no vídeo abaixo):

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1º FORMA: c=0

A equação incompleta nesta forma será $$ax^{2}+bx=0$$, pois o termo independente (c) é igual a zero. Para resolver a equação nesta forma, basta fatorar o ‘x’: $$ax^{2}+bx = x(ax+b) = 0$$. Isso faz com que tenhamos duas soluções: $$x=0$$ ou $$ax+b=0$$, esta última equivale a dizer que $$x=-\frac{b}{a}.$$

As duas soluções serão sempre $$\mathbf{x=0}$$ ou $$\mathbf{x=-(b/a)}$$.

Exemplo: $$2x^{2}+11x=0$$.
Se fizermos a fatoração, teremos $$x(2x+11)=0$$, então $$x=0$$ ou $$x=-11/2$$.
Para aplicar a fórmula apresentada, basta notar que $$a=2, b=11$$ e $$c=0$$, logo teremos sempre $$x=0$$ ou $$x=-11/2$$.

Exemplo: $$-x + 3x^{2}=0$$.
Os termos apenas estão invertidos, isso quer dizer que $$a=3$$ e $$b=-1$$. As soluções serão $$x=0$$ ou $$x=-(-1/3) = 1/3$$.

2ª FORMA: b = 0

Neste caso, sempre teremos $$ax^{2}+c=0$$. Mas tenha atenção, pois os sinais de $$a$$ e $$c$$ sempre devem ser diferentes (se um é positivo, o outro tem de ser negativo!), a fim de que não apareça a temida raiz quadrada de número negativo! Dito isso, a nossa solução sempre será $$x=\sqrt{-a/b}$$ ou $$x=-\sqrt{-a/b}$$.

Exemplo: $$-x^{2} + 3=0$$.
Teremos $$-x^{2}=-3$$, então $$x=\pm\sqrt{3}$$.
Para aplicarmos a fórmula, basta observar que $$a=-1$$ e $$c=3$$, logo $$x=\pm\sqrt{-(-1/3)}=\pm\sqrt{1/3}$$.

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Solução:
Usando as fórmulas da Soma e do Produto das raízes de equações do segundo grau e chamando a outra raiz de $$x$$, teremos $$x+1-\sqrt{5} = -b$$ e $$x(1-\sqrt{5})=c$$.

A fim de que b seja inteiro, necessitamos de que $$x+1-\sqrt{5}$$ não tenha raiz quadrada. Desse modo, $$x=k+\sqrt{5}$$, em que $$k$$ é um número inteiro, pois $$x+1-\sqrt{5} = k+1$$.

Substituindo essa expressão na segunda fórmula, obtemos $$(k+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})=k+\sqrt{5} – k\sqrt{5} – 5 = c$$, que também é um número inteiro. Para isso, devemos eliminar as raízes quadradas, isto é: $$\sqrt{5} – k\sqrt{5} = 0$$. Daqui, obtemos $$k = 1$$.

Substituindo $$k=1$$ na expressão de $$c$$, obtemos $$c = 1-5 = -4$$.

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Solução:
Usando a fórmula do Produto de Raízes, obtemos $$x_{1}\cdot x_{2}=47$$. Note que 47 é um número primo, então as únicas decomposições possíveis, em números naturais, são $$x_{1}=1$$ e $$x_{2}=47$$ ou $$x_{1}=47$$ e $$x_{2}=1$$. Daqui, concluímos que a diferença pode ser $$1-47 = -46$$ ou $$47-1=46$$.

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Use as fórmulas de Soma e Produto com $$a=2$$, $$b=-5$$ e $$c=7$$.

• Soma = $$-\frac{-5}{2} = 2,5$$.
• Produto = $$\frac{-7}{2}=-3,5$$.

O post Soma e Produto – Questão 7 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Use as fórmulas de Soma e Produto com $$a=1$$, $$b=1$$ e $$c=-1$$.

• Soma = $$-\frac{1}{1} = -1$$.
• Produto = $$\frac{-1}{1}=-1$$.

O post Soma e Produto – Questão 6 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Use as fórmulas de Soma e Produto com $$a=3$$, $$b=6$$ e $$c=-9$$.

• Soma = $$-\frac{6}{3} = -2$$.
• Produto = $$\frac{-9}{3}=-3$$.

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Solução:
No lado esquerdo, faça a distributividade $$(x-1)(x+3) = x^{2} + 3x -x – 3 =x^{2}+2x-3$$ e multiplique por 2, o que resulta em $$2x^{2}+4x-6$$. Subtraia o $$-3x$$ e fique com $$2x^{2}+4x-6-3x = 2x^{2}+x-6$$. Além disso, passe o número quatro para o lado esquerdo da equação, mudando seu sinal. Agora, nossa equação tornou-se

\[2x^{2}+x-6-4=0.\]

Junte os termos que possuem termos em comum, então nossa equação fica

\[2x^{2}+x-10=0.\]

Agora, resolvemos por Bháskara:

\[x=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot 2\cdot (-10)}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{81}}{4}.\]

As raízes são $$\frac{-1+9}{4}=2$$ e $$\frac{-1-9}{4}=-2,5$$.

O post Equação do 2º Grau – Questão 4 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) O produto das raízes é – 1.
b) As raízes são números opostos.
c) Uma das raízes é o número zero.

Solução:
Usaremos, em todos os exercícios, a fórmula da Soma e do Produto de raízes. Sejam $$x_{1}$$ e $$x_{2}$$ as raízes, então

• Soma = $$x_{1}+x_{2}=-\frac{2m-5}{m-2}=\frac{5-2m}{m-2} (*)$$, e
• Produto = $$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{1-2m}{m-2} (**)$$.

a) Produto = -1. Então a equação $$(**)$$ fica

\[-1=\frac{1-2m}{m-2}\Longrightarrow -m+2 = 1-2m \Longrightarrow \]

\[2m-m = 1-2 \Longrightarrow m = -1 .\]

b) As raízes são opostas, isto é: $$x_{1}=-x_{2}$$. Substituindo tal informação na fórmula $$(*)$$, obtemos

\[x_{1}+x_{2}=0=\frac{5-2m}{m-2}.\]
Teremos, então, $$5-2m=0$$, logo $$2m=5$$ e $$m=5/2 = 2,5$$.

c) Se uma das raízes é nula, então Produto = 0. Substituindo tal informação na equação $$(**)$$, obtemos

\[0 = \frac{1-2m}{m-2}.\]

A solução ocorre quando $$1-2m=0$$, logo $$2m=1$$ e $$m=1/2$$.

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