a) 3,5 e 4
b) 5 e 9
c) 7 e 2,5
d) 13 e 8,5

Gabarito: a)
Solução (no vídeo a seguir):

O post Se p é a raiz da equação irracional √(x² + 5x) = 14 − 2x apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Parte I
Antes de elevarmos os dois lados ao quadrado, reescrevemos a equação como $$\sqrt{7x-3}=x+1$$. Agora, elevando ao quadrado os dois lados da equação, obtemos 7x-3 = (x+1)^{2} = x^{2}+2x+1$$. O resultado é a equação x²-5x+4=0.

Parte II
Usando a fórmula de Bhaskara, resolvemos a equação x²-5x+4=0.
Temos, $$x=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^{2}-4\cdot 4}}{2}=\frac{5\pm 3}{2}$$.  As soluções dessa equação são x= 4 ou x = 1.

Parte III
Testamos x = 4 na equação original: $$\sqrt{7\cdot 4 – 3} – 1 = 4$$, então $$5-1 = 4$$. Essa raiz satisfaz a equação.
Testamos x = 1: $$\sqrt{7\cdot 1 – 3}-1 = 4$$, então $$2-1 = 1$$, que também satisfaz a equação.
Portanto as soluções são {1,4}.

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Parte I
Precisamos elevar os dois membros da igualdade ao quadrado, de modo que obtemos a expressão $$(\sqrt{x^{2}-6x+16})^{2}=(2\sqrt{2})^{2}$$, logo a equação será $$x^{2}-6x+16 = 8$$, ou, escrito de outra forma, temos a expressão x²-6x+8=0.

Parte II
Usando a fórmula de Bhaskara, resolvemos a equação x²-6x+8=0. Desse modo,
$$x=\frac{6\pm\sqrt{6^{2}-4\cdot 8}}{2}=\frac{6\pm 2}{2}$$.
As soluções da equação do são x = 4 ou x = 2.

Parte III
Agora, verificamos se existe alguma solução que não satisfaz a equação original.
Testando a primeira raiz: $$\sqrt{4^{2}-6\cdot 4 + 16} = 2\sqrt{2}$$, então $$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$. Essa afirmação é verdadeira, pois podemos escrever $$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$$.

Testando a segunda raiz: $$\sqrt{2^{2}-6\cdot 2 + 16} = 2\sqrt{2}$$, então $$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$. É a mesma afirmação anterior, portanto ambas as raízes satisfazem a equação.
Solução: {2,4}.

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Solução:

Parte I
Elevamos os dois membros da igualdade ao quadrado e ficamos com $$(\sqrt{x-1})^{2}=(3-x)^{2}$$. O lado esquerdo da equação anula a raiz quadrada, o lado direito é um Trinômio Quadrado Perfeito, que resulta em 9-6x+x².
A igualdade x-1 = 9 – 6x + x² é reescrita do seguinte modo: x²-7x+10 = 0.

Parte II
Resolvemos a equação x²-7x+10 = 0 por meio da fórmula de Bhaskara. Obtemos
$$x=\frac{7\pm\sqrt{7^{2}-4\cdot 10}}{2}=\frac{7\pm 3}{2}$$.
As soluções da equação do são x = 5 ou x = 2.

Parte III
Verificamos se há alguma solução que não satisfaz a equação original.
Testando a primeira raiz: $$\sqrt{5-1} = 3-5$$, então $$\sqrt{4} = 2 = -2$$. Essa é uma afirmação absurda, então a raiz não satisfaz a equação.

Testando a segunda raiz: $$\sqrt{2-1}=3-2$$. então $$\sqrt{1} = 1=1$$.  Essa raiz satisfaz a equação.

Solução: {2}.

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