Solução:
i) Usando a fórmula da soma infinita da PG, obtemos $$\frac{sen^{2}(x)}{1-\frac{sen^{2}(x)}{2}}=2$$. Arrumando a equação, teremos $$\frac{2sen^{2}(x)}{2-sen^{2}(x)}=2$$.

Multiplicando em “cruz” e dividindo ambos os lados por 2, obtemos $$sen^{2}(x)=1$$, que resulta em $$sen(x)=\pm 1$$.

ii) Os arcos da primeira volta que satisfazem a equação trigonométrica são $$x=\frac{\pi}{2}$$ ou $$x=\frac{3\pi}{2}$$. No caso de todas as voltas possíveis, temos $$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$, para $$k=0,1,2,…$$.

Como o valor máximo é 20π, observamos que $$\pi/2 + k\pi = 20\pi$$ implica $$k=20-1/2 = 19,5$$.
Como $$k$$ é um número natural, o maior valor possível para ele é $$k=19$$. Além dessas 19 soluções, temos a inicial (k=0), totalizando  20 soluções.

O post Progressão Geométrica – Exercício 29 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

O post ITA 2017 – Questão 29 (Matemática) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

• Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos sobre Equações Trigonométricas

a) Calcule f(π/4)
b) Encontre todos os valores de x ∈[0,2π ] tais que f ( x ) = −1/ 2.

Solução:

O post UNICAMP 2023 – 2ª Fase – Equação Trigonométrica apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
Basta fazermos a substituição $$u=sen(x)$$, a fim de obtermos a equação 2u² – 3u + 1 = 0.
Agora, resolvemos, por Bhaskara, a equação associada:

\[u=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}=\]

\[\frac{3\pm 1}{4}.\]

As soluções são $$u=1$$ ou $$u=1/2$$.

Sabemos, pelo ciclo trigonométrico, que $$sen(x) = u = 1$$ quando $$x=\pi + 2k\pi$$, para um inteiro não negativo $$k$$. Em particular, no intervalo considerado, temos as seguintes soluções: x ∈ {π,3π}.

No caso de $$sen(x)=u=1/2$$, as soluções serão $$x=\frac{\pi}{6} + 2k\pi$$ ou $$x=\frac{5 pi}{6} + 2k\pi$$, para um inteiro não negativo $$k$$. Então, no intervalo em questão, as soluções estão no conjunto {π/6 , 5π/6, 13π/6, 17π/6}.

Há, portanto, 6 soluções.

O post FEI – 2022 – Engenharias – Questão 10 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) determine x.
b) calcule cos x + cos2x + cos3x .

Solução:

a) Utilizando a soma de arcos, sabemos que $$sen(2x) = 2sen(x)cos(x)$$ e que $$sen(3x) = sen(2x)cos(x) + sen(x)cos(2x)$$.

• Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos sobre Equações Trigonométricas

Usando essas substituições e o fato de que $$cos(2x)=cos^{2}(x)-1$$, na equação, temos $$sen(x) + 2sen(x)cos(x) + 2sen(x)cos^{2}(x)+sen(x)(2cos^{2}(x)-1)=0.$$

Assim,

\[sen(x) + 2sen(x)cos(x) + 4sen(x)cos^{2}(x) – sen(x) = 0.\]

A equação torna-se $$2sen(x)[cos(x)+2cos^{2}(x)]=0$$.  Uma das soluções é $$sen(x)=0$$, mas, dado o intervalo do enunciado, não existe solução para este caso.

O segundo caso é a equação quadrática $$t + 2t^{2}=0$$, para $$t=cos(x)$$. Portanto, as soluções, neste caso, são $$t = 0$$ ou $$t = -1/2$$. No primeiro subcaso, $$t=cos(x) = 0$$, que não possui solução para $$x\in(\pi/2 , \pi)$$. O segundo subcaso corresponde a $$t=cos(x)=-1/2$$. A única solução possível é $$x=5\pi/3$$.

b) Como $$x=5\pi/3$$, precisamos calcular o cosseno de $$2\cdot 5\pi/3 = 10\pi/3 $$ e $$3\cdot 5\pi/3 = 5\pi$$. Notamos que $$cos(\frac{10\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3})$$ e que  \[cos(5\pi)=cos(\pi)=0.\] Daqui, \[cos(x)+cos(2x)+cos(3x) = 0\]

O post Equações Trigonométricas – Exercício 9 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

(FEI)

(Unifor – CE) O número de soluções da equação 2sen(x)cos(x)=4, no intervalo [0, 2π] é
a)0  b)1  c)2  d)3  e)4
Solução

(UEL) Se x  ∈   [0,2π], o número de soluções da equação cos(2x)=sen[π/2 – x] é
a) 1  b) 2  c) 3  d) 4  e) 5
Solução

O conjunto solução da equação tg²(x)=√3 tg(x) é
Solução

(Mackenzie – 2020) Se cos⁡(x)=1/2 , então o valor do cos⁡(2x) é igual a
a) -1/2  b) -1/4  c) 1/4  d) 1/2 
Solução

Determine o conjunto solução da equação $$sen(x)-cos(x)=0$$.
Solução

Resolva a equação $$(cos(x)+sen(x))^{2}=\frac{1}{2}$$.
Solução

(Unimontes- MG) As soluções da equação $$cos^{2}(x) + cos(x) = 0$$, no intervalo [0, 2π], são
a) π/2 , π, 3π/2 e 2π.   b) π/2 , π e 3π/2  c) 0, 3π/2  e 2π  d) 0, π/2 e π
Solução

(UNICAMP – 2021) Sabendo que 0<θ≤90° e que 2⋅cos⁡(2θ)+5⋅cos⁡(θ)=4 é correto afirmar que
a)0<θ≤30°  b)30°<θ≤45° c)45° <θ≤60°  d)60°<θ≤90°
Solução

(UNICAMP – 2014) Seja x real tal que $$cos(x)=tan(x)$$ . O valor de $$sen(x)$$ é:
a) $$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$,   b) $$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$,  c) $$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$,
d) $$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$
Solução

(UNICAMP – 2023) Encontre todos os valores de x ∈[0,2π ] tais que cos(2x)- 2sen(x) = −1/ 2.
Solução.

(ITA 2017) Determine o conjunto das soluções reais da equação 3cossec²(x/2) – tg²(x)=1. 
Solução.

(IME – 2016) Seja a equação $$\frac{sen(2x)}{tg(x)}=1/2$$. As soluções dessa equação para $$x\in [-\pi/2,\pi]$$ formam um polígono no círculo trigonométrico de área
a) √3/2   b) √3  c) (5√3)/8  d) 1/2 e) 1
Solução

A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz π/2<x<π e verifica a equação sen(x) + sen(2x) + sen (3x) = 0. Assim,   
a) determine x. 
b) calcule cos x + cos2x + cos3x .
Solução

(ITA) A soma de todas as soluções distintas da equação

\[cos 3x + 2 cos 6x + cos 9x = 0\]

que estão no intervalo $$x\in[0,\pi/2]$$, é igual
Solução

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Solução:

Façamos a substituição $$u=tg(x)$$, de modo que a equação torna-se $$u^{2}-\sqrt{3}u=0$$, ou seja, temos de resolver a equação

\[u(u-\sqrt{3})=0.\]

Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos sobre Equações Trigonométricas

As duas soluções são $$u=0$$ ou $$u=\sqrt{3}$$. No primeiro caso, temos $$tg(x) = u = 0$$. Qualquer arco da forma $$2k\pi$$, para qualquer inteiro $$k$$, é solução.

No segundo caso, as soluções da primeira volta do círculo trigonométrico para $$u=tg(x)=\sqrt{3}$$ são π/3 e 4π/3. Assim, qualquer solução deste caso é da forma $$\frac{\pi}{3}+k\pi$$, para qualquer inteiro $$k$$.

O conjunto solução é, portanto,  $$\{2k\pi, k\in \mathbb{Z}\}\cup\{\frac{\pi}{3}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\}$$.

O post Equações Trigonométricas – Exercício 8 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

No lado esquerdo da equação, aplicamos o trinômio quadrado perfeito, de modo que a equação torna-se

\[cos^{2}(x)+sen^{2}(x)+2cos(x)sen(x)=1/2,\]

assim, temos $$1+2cos(x)sen(x)=1/2$$, o que resulta em

\[2cos(x)sen(x)=-\frac{1}{2}.\]

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Note que $$2cos(x)sen(x)=sen(2x)$$, expressão fornecida pela soma de arcos. Então a equação é simplesmente $$sen(2x)=-\frac{1}{2}$$.

Se considerarmos o arco $$u=2x$$, duas soluções na primeira volta do círculo trigonométrico são 5π/6 e 7π/6. Qualquer outra solução $$u$$ é dada a partir dessas duas. Então o conjunto de soluções é $$\{7\pi/6 + 2k\pi\}\cup \{11\pi/6 + 2k\pi\}$$, para qualquer inteiro $$k$$. Como $$u=2x$$, temos $$x\in \{7\pi/12 + k\pi\}\cup \{11\pi/12 + k\pi\}$$, para qualquer inteiro $$k$$.

O post Equações Trigonométricas – Exercício 7 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Com a identidade fundamental da trigonometria, escrevemos $$sen^{2}(x)=1-cos^{2}(x)$$. Elevando ao quadrado ambos os lados da equação, obtemos

\[1-cos^{2}(x)=sen^{2}(x)=cos^{2}(x),\]

donde tiramos a expressão

\[2cos^{2}(x)=1.\]

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Isso implica $$cos(x)=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}$$.

Daqui, as soluções são $$cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ ou $$cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$. Observamos que as soluções positivas podem ser π/4 , 3π/4, 5π/4, 7π/4, etc.

Essa sequência de arcos forma uma progressão aritmética de razão 2π/4 e termo inicial igual a π/4 , portanto a forma de todos os arcos que satisfazem a equação do enunciado é $$\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{4}$$, para qualquer $$k$$ inteiro, seja positivo ou negativo. 

O post Equações Trigonométricas – Exercício 6 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a)0
b)1
c)2
d)3
e)4

Solução:
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Pode-se observar que $$4=2sen(x)cos(x)=sen(2x)$$. Como $$sen(\theta)\in\[-1,1\]$$, para qualquer arco, essa equação não possui solução.
Resposta: a)

Alternativamente, se elevarmos ao quadrado ambos os lados da equação, obtemos 

\[4sen^{2}(x)cos^{2}(x)=16\Longrightarrow\]

\[(1-cos^{2}(x))cos^{2}(x)-4=0.\]

Fazendo a substituição $$u=cos^{2}(x)$$, a equação torna-se 

\[u-u^{2}-4=0.\]

Note que o delta dessa equação de segundo grau é $$\Delta = 1^{2}-4\cdot(-1)\cdot(-4) = -15$$, de modo que não existe solução real para $$u$$. Daqui, concluímos que a resposta correta é a (a). 

O post Equações Trigonométricas – Exercício 5 apareceu primeiro em Educacional Plenus.