Em seguida, ele solicitou aos seus estudantes do 3º ano do Ensino Médio que indicassem a menor e a maior fração dentre as cinco listadas no quadro-negro. A diferença entre a maior e a menor fração dentre as cinco listadas é igual a:

a) 1/16.
b) 1/30.
c) 1/48.
d) 1/80.

Gabarito: b)
Solução (no vídeo abaixo):

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Solução:
Multiplicamos a primeira fração por $$3$$, de modo que $$\frac{a}{3}=\frac{3\cdot a}{3\cdot 11}=\frac{3a}{33}$$. Multiplicamos a segunda fração por $$11$$, então obtemos $$\frac{b}{11}=\frac{11b}{11\cdot 3}=\frac{11b}{33}$$.

Somando as duas frações, obtemos

\[\frac{3a+11b}{33}=\frac{31}{33}.\]

Como a fração à direita é irredutível, teremos $$3a+11b=31$$. Essa equação diofantina tem solução, pois $$mdc(3,11)=1$$. Observe que só podemos ter $$b=1$$ ou $$b=2$$. Escolhendo $$b=2$$, teremos $$a=3$$, donde concluímos que $$3\cdot 3 + 11\cdot 2 = 9 + 22 = 31$$.

Daqui, $$a+b=5$$.

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Solução:
Para somarmos as duas frações precisamos multiplicá-las por algum múltiplo comum de seus respectivos denominadores. Como não conhecemos os valores, o múltiplo comum será o fator $$bd$$. Assim,

\[\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{d}=\frac{ad}{bd}\text{ e}\]

\[\frac{c}{d}\cdot\frac{b}{b}=\frac{bc}{bd}.\]

Somando as duas frações, teremos a expressão

\[\frac{ad+bc}{bd}=\frac{29}{30}.\]

Temos uma fração irredutível. Observe que $$bd = 30$$, mas, como $$b,d\in\{1,…,9\}$$, teremos apenas duas opções: $$b=5$$ e $$c=6$$, ou $$b=6$$ e $$c=5$$.

No primeiro caso, teremos $$6a+5b = 29$$. Se colocarmos $$a=4$$ e $$b=1$$, teremos $$6\cdot 4 + 5\cdot 1 = 29$$, que é uma solução da equação diofantina. Se quisermos $$b=6$$ e $$c=5$$, teremos a mesma solução, apenas trocando $$a$$ e $$c$$.

Desse modo, a soma $$a+b+c+d = 4 + 5 + 1 + 6 = 16$$.

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Solução:
A fração 2/3 indica que a população do município foi dividida em 3 partes iguais e que 2 dessas partes correspondem a 36.000 habitantes. Ao dividirmos o valor das partes pelo número 2, obtemos o total de habitantes que cabe a cada uma das 3 partes: $$36000/2 = 18.000$$.

Como há 3 partes no total, o município possui $$3\cdot 18.000 = 54.000$$ habitantes.

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Solução:
Dividimos o total de alunos da sala em 8 partes iguais, 3 partes das quais correspondem a 9 alunos. Fazendo $$9/3 = 3$$, obtemos o número alunos em cada uma das 8 partes. O total da classe, portanto, é obtido ao fazermos $$8\cdot 3 = 24$$ alunos.

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Solução:
O denominador da fração representa o número total de dias na semana, isto é, 7. O numerador representa o total de dias que destacamos no enunciado. Assim, 3 dias correspondem à fração de $$\frac{3}{7}$$ da semana e 5 dias, à $$\frac{5}{7}$$.

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Solução:
Observe que 2/7 indica para nós que o número total de voltas foi dividido em 7 partes iguais e que restavam apenas 2 dessas partes para o fim da prova. Se indicarmos com 1 o total de voltas da prova, descobrimos que o competidor percorreu $$1-\frac{2}{7}=\frac{7-2}{7}=\frac{5}{7}$$ do total, quando foi retirado.

Isso equivale a dizer que o competidor completou 5 partes das 7 partes totais. Como o total de voltas é de 56, fazendo $$56/7 = 8$$, descobrimos que cada uma das partes da fração equivale a 8 voltas. Uma vez que o competidor completou 5 dessas partes, o total de voltas será de $$5\cdot 8 = 40$$ voltas.

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Solução:
A mesada toda é representada pelo número 1. Dado que foi gasto 1/3 da mesada, a fração restante é dada por $$1-\frac{1}{3}=\frac{3}{3}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$.

Dos 2/3, o aluno guardou 2/5. Novamente, se representarmos o total (os 2/3) por 1, sobrou a fração de $$1-\frac{2}{5} = \frac{5}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$$, que é a fração dos 2/3 usada para comprar o presente de R$ 48,00.

Em relação a toda mesada, a fração usada para a compra do presente é a multiplicação das duas frações, isto é: $$\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{2\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{6}{15}$$. Você ainda pode simplificar essa fração a uma forma irredutível, ao dividir por 3 o numerador e o denominador, de modo a obter $$\frac{2}{5}$$.

Finalmente, temos a seguinte situação: a mesada toda foi dividida em 5 partes iguais, 2 das quais foram usadas para comprar o presente de R$ 48,00. Fazendo $$48/2 = 24$$, descobrimos que cada parte equivale a 24. Como há 5 partes iguais, a mesada equivale a $$5\cdot 24 = R\$ 120,00$$.

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Solução:
O caminho todo é representado pelo número 1. Dado que o ônibus já percorreu 2/5, restaram apenas $$1-\frac{2}{5}=\frac{5}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$$ do percurso, que equivalem a 12 Km.

Note que a quantidade total foi dividida em 5 partes iguais. Três dessas partes equivalem a 12 Km, portanto, se fizermos $$\frac{12}{3}=4 Km$$, encontramos o valor de cada parte, que é 4. Como há 5 partes valendo 4, o total será de $$5\cdot 4 = 20 Km$$.

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Solução: 
Não é preciso se preocupar com a quilometragem apresentada. Observe que, se o motorista percorreu 1/3 do total, então do todo, representado pelo número 1, tiramos 1/3, de modo a ficarmos com $$1-\frac{1}{3}=\frac{3-1}{3}=\frac{2}{3}$$.

Além disso, o motorista percorreu mais um trecho, correspondente à metade do trecho total, então a fração restante é dada por

\[\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2\cdot 2 – 1\cdot 3}{6}=\frac{1}{6}.\]

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