2) Uma companhia que vende equipamentos de escritório consegue vender 1.000 arquivos quando o preço é R$ 600. Além disso, sabe-se que a cada redução de R$ 30 no preço a companhia pode vender mais 150 arquivos. Supondo linear a equação de demanda, encontre-a e trace um esboço da curva de demanda. Solução.

3) Uma companhia vende 20.000 unidades de uma mercadoria quando o preço unitário é R$ 14, e a companhia determinou que pode vender 2.000 unidades a mais com uma redução de R$ 2 no preço unitário. Ache a equação de demanda, supondo-a linear, e trace um’ esboço da curva de demanda. Solução.

4) Um serviço de streaming ganha 300 assinaturas por dia, se a mensalidade for de $4,00. Para cada $1,00 de acréscimo no preço, há uma queda diária de demanda de 50 assinaturas.

a) Qual a equação de demanda diária de filmes, admitindo-a como função linear;
b) Qual preço deve ser cobrado para maximizar a receita?
Solução.

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a) Qual a equação de demanda diária de filmes, admitindo-a como função linear;
b) Qual preço deve ser cobrado para maximizar a receita?

Solução:

a) Os pares ordenados são da forma (p,x), em que $$p$$ é o preço e $$x$$ é a demanda. O primeiro par é (4,300). O segundo pode ser o par e (4+1,300-50) = (5,250).

O modelo de demanda é dado por $$x(p) = ap+b$$. Daqui, montamos duas equações, uma para cada par ordenado:

• $$300 = 4a+b$$, e
• $$250 = 5a + b$$.

Se multiplicarmos a segunda equação por (-1) e somarmos esse resultado à primeira equação, obtemos $$250-300 = 5a – 4a + b -b$$, que se reduz a $$-50 = a$$.

Substituindo na primeira equação, obtemos $$300 = 4\cdot -50 + b$$, logo $$b=320$$. Nossa equação é, portanto,

\[x(p) = -50p + 500.\]

b) A função receita é dada por $$R(p) = x(p)\cdot p = -50p^{2}+500p$$.

Por se tratar de uma equação do segundo grau, o preço que gera a receita máxima é dado pelo “x do vértice”: $$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-500}{2\cdot – 50}=R\$ 5,00$$.

Outra forma de resolver é fazendo a derivada da função Receita:

\[R'(x) = (-50p^{2}+500p)’ = -100p + 500.\]

A raiz dessa equação é o valor em que a receita é máxima: $$-100p+500 = 0$$, então $$p =5$$.

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Solução:

Os pares ordenados são da forma (p,x), em que $$p$$ é o preço e $$x$$ é a demanda. O enunciado informa que 20.000 arquivos são vendidos a R$ 14,00, então o par é $$(14,20.000)$$. Também é informado que, se o preço cair para R$ 12,00 (R$ 2 reais a menos), a demanda será de 22.000 arquivos (2000 unidades a mais), então o par é $$(12,22.000)$$.

O modelo de demanda é dado por $$x(p) = ap+b$$. Daqui, montamos duas equações, uma para cada par ordenado:

• $$20.000 = 14a+b$$, e
• $$22.000 = 12a + b$$.

Se multiplicarmos a segunda equação por (-1) e somarmos esse resultado à primeira equação, obtemos $$20.000 – 22.000 = 14a – 12a + b -b$$, que se reduz a $$-2000 = 2a$$. Daqui, a = -1000$.

Substituindo na primeira equação, obtemos $$20.000 = 14\cdot -1000 + b$$, logo $$b=34.000$$. Nossa equação é, portanto,

\[x(p) = -1000p + 34000.\]

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Solução:

Os pares ordenados são da forma (p,x), em que $$p$$ é o preço e $$x$$ é a demanda. O enunciado informa que 1000 arquivos são vendidos a R$ 60,00, então o par é $$(60,1000)$$. Também é informado que, se o preço cair para R$ 570,00 (R$ 30 reais a menos), a demanda será de 1150 arquivos (150 arquivos a mais), então o par é $$(30,1150)$$.

O modelo de demanda é dado por $$x(p) = ap+b$$. Daqui, montamos duas equações, uma para cada par ordenado:

• $$1000 = 60a+b$$, e
• $$1150 = 30a + b$$.

Se multiplicarmos a segunda equação por (-1) e somarmos esse resultado à primeira equação, obtemos $$1.000 – 1.150 = 60a – 30a + b -b$$, que se reduz a $$-150 = 30a$$. Daqui, a = -5$.

Substituindo na primeira equação, obtemos $$1000 = 60\cdot -5 + b$$, logo $$b=1300$$. Nossa equação é, portanto,

\[x(p) = -5p + 1300.\]

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Solução: 

Procuramos por dois pares ordenados do tipo (p,x), em que $$p$$ é o preço e $$x$$ é a demanda. A primeira informação do enunciado diz que, ao preço de R$ 30,00, vendem-se 10.000 unidades, isso implica um par ordenado $$(30,10.000)$$.

Da segunda informação, podemos deduzir que, se o preço foi de R$ 28,00, ou seja, R$ 2,00 a menos do que os R$ 30,00 iniciais, haverá um total de 10.000 + 1000 = 11.000 vendas. Isso fornece o par $$(28,11000)$$.

O modelo de demanda é dado por $$x(p) = ap+b$$. Daqui, montamos duas equações, uma para cada par ordenado:

• $$10.000 = 30a+b$$, e
• $$11.000 = 28a + b$$.

Se multiplicarmos a segunda equação por (-1) e somarmos esse resultado à primeira equação, obtemos $$10.000 – 11.000 = 30a – 28a + b -b$$, que se reduz a $$-1.000 = 2a$$. Daqui, a = -500$$.

Substituindo na primeira equação, obtemos $$10000 = -28\cdot 500 + b$$, logo $$b=15000$$. Nossa equação é, portanto,

\[x(p) = -500p + 25000.\]

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