a) Obtenha a função Lucro.

b) Obtenha a função Lucro Marginal.

c) Obtenha o lucro marginal aos níveis q = 3.000 e q = 5.000, interpretando os resultados.

d) Obtenha a quantidade que dá o lucro máximo a partir das derivadas do lucro.

Solução:

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a) Obtenha a função Custo Marginal.

b) Obtenha o custo marginal aos níveis $$q=50, q=100$$ e $$q=150$$, explicando seus significados.

c) Calcule o valor real para produzir a 101ª unidade e compare o resultado com o obtido no item anterior.

Solução:

a) Calcula-se a derivada da função custo, a qual é o custo marginal.

$$\frac{dC}{dq}=C'(q)=(0,02q^{3}-6q^{2}+900q+10000)’=0,06q^{2}-12q+900$$.

b) Calcula-se o valor da função derivada nos pontos requeridos.

$$C'(50) = 0,06\cdot (50)^{2}-12\cdot (50) + 900 = R\$ 450,00$$.

$$C'(100) = 0,06\cdot (100)^{2}-12\cdot (100) + 900 = R\$ 300,00$$.

$$C'(150) = 0,06\cdot (150)^{2}-12\cdot (150) + 900 = R\$ 450,00$$.

c) Calculam-se os custos de 100 e de 101 peças. Depois, faz-se a subtração entre ambos, que fornece o custo de produção da peça de número 101.

$$C(101) =  0,02\cdot (101)^{3}-6\cdot (101)^{2}+900\cdot (101)+10000 = R\$ 50.300,02 + 10.000$$.

$$C(100) = 0,02\cdot (100)^{3}-6\cdot (100)^{2}+900\cdot (100)+10000 = R\$ 50.000,00 + 10.000$$.

Daqui, $$C(101)-C(100)=50300,02 – 50000 = R\$ 300,02$$, que é o custo de produção da 101ª peça. Nota-se que este valor é muito próximo de $$C'(100)$$, de modo a comprovar, experimentalmente, que a função custo marginal ($$C(q)$$) fornece uma boa aproximação para o incremento do custo de produção da peça $$q+1$$.

Referência

Afrânio Carlos Murolo & Giácomo Augusto Bonetto – Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade (2004)

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