Seja $$\phi: A_{1}\longrightarrow A_{2}$$ um homomorfismo de anéis. Seja $$I$$ um ideal de $$A_{1}$$ contido no $$ker(\phi)$$. Mostre que a aplicação:

$$\bar{\phi}: A_{1}/I\longrightarrow A_{2}$$;

$$\bar{a}\mapsto \phi(a)$$;

é um homomorfismo de anéis, chamado de homomorfismo induzido.

Solução:

Demonstremos que a função é bem-definida, em duas etapas:

1.i) Se $$\bar{a}=\bar{b}$$, então $$a \sim b$$, isto é, $$b-a\in I\Longrightarrow\phi(b-a)=0$$, dado que $$I$$ é subconjunto do núcleo. Deste modo, $$\phi(b)=\phi(a)$$. Portanto é válida a igualdade:

\[\bar{\phi}(\bar{a})=\phi(a)=\phi(b)=\bar{\phi}(\bar{b}).\]

Para cada elemento no domínio, há apenas um elemento correspondente no contradomínio.

1.ii) Toda classe $$\bar{a}$$ tem um representante no contradomínio, através de $$\phi$$. Com efeito, sabemos que $$a \sim a$$, logo o conjunto $$\bar{a}$$ não é vazio. Por hipótese de $$\phi$$ ser uma função (bem-definida), é óbvio que existe $$\phi(a)$$, portanto, pela definição, temos $$\bar{\phi}(\bar{a})=\phi(a)$$.

Todo elemento no domínio tem representante no contradomínio.

A função é bem-definida.

2)

A função é um homomorfismo de anéis. Com efeito, sabendo que $$\overline{a\cdot b}=\bar{a}\cdot\bar{b}$$, basta aplicarmos à função:

\[\bar{\phi}(\overline{a\cdot b})=\phi(a\cdot b)=\phi(a)\cdot\phi(b)=\bar{\phi}(\bar{a})\cdot\bar{\phi}(\bar{b})\]

O raciocínio é análogo para o caso $$\overline{a+b}$$.

Por outro lado, precisamos provar que $$\bar{\phi}(\bar{0})=0$$.

De fato, $$\bar{0}=I$$, por definição da relação de equivalência em ideais. Por hipótese, sabemos que $$I$$ é subconjunto do núcleo, portanto é válida a identidade a seguir:

\[\bar{\phi}(\bar{0})=\phi(x)=0\]. Pois $$x\in I$$.

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