𝑭(𝒙,𝒚,𝒛,𝒕)=(𝒙−𝒚+𝒛+𝒕, 𝒙+𝟐𝒛−𝒕, 𝒙+𝒚+𝟑𝒛−𝟑𝒕)

Encontre uma base e a dimensão (a) da imagem de F, (b) do núcleo de F.

Solução:

https://youtu.be/muSWndGMRow

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Solução:

Definimos a transformação linear $$\phi:\mathbb{R}^{m}\longrightarrow E$$ com $$\phi((\alpha_{1},…,\alpha_{m}))=\alpha_{1}v_{1}+…\alpha_{m}v_{m}$$.

Note que subespaço imagem de $$\phi$$ é o subespaço gerado pelos vetores indicados inicialmente. Consequentemente, a dimensão deste subespaço é $$r$$, por hipótese do exercício.

Aplicando o teorema do Núcleo e da Imagem, temos:

\[m=dim(\mathbb{R}^{m})=dim(\mathcal{N}(\phi))+r\Longrightarrow dim(\mathcal{N}(\phi))= m -r\].

Obtivemos, portanto, a dimensão do subespaço que anula a transformação $$\phi$$, uma vez que aquele espaço é, exatamente, o núcleo de tal aplicação.

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